Задача 59709 y''-3y'+2y = 1/(3+e^(-x)) ...
Условие
Решение
Решаем однородное:
y``-3y`+2y=0
Составляем характеристическое
k^2-3k+2=0
k_(1)=1, k_(2)=2 - корни действительные, различные
Общее решение можно записать в виде:
y_(общее одн.)=C_(1)e^(k_(1)*x)+C_(2)e^(k_(2)*x)
y_(общее одн.)=C_(1)e^(x)+C_(2)e^(2*x)
Применяем [b]метод вариации[/b] произвольных постоянных
y=C_(1)(x)e^(x)+C_(2)(x)*e^(2*x)
С_(1) и С_(2) находим из системы уравнений:
{C`_(1)(x)e^(x)+C`_(2)(x)*e^(2*x)=0
{C`_(1)(x)(e^(x))`+C`_(2)(x)*(e^(2*x))`=1/(3+e^(-x))
{C`_(1)(x)e^(x)+C`_(2)(x)*e^(2*x)=0
{C`_(1)(x)e^(x)+C`_(2)(x)*2e^(2*x)=1/(3+e^(-x))
Вычитаем из второго первое уравнение:
C`_(2)(x)e^(2x)=1/(3+e^(-x))
C`_(2)(x)=e^(-2x)/(3+e^(-x))
С_(2)(x)= ∫e^(-2x) dx/(3+e^(-x))
С_(2)(x)= ∫e^(x) dx/e^(2x)*(3e^(x)+1)
Замена переменной:
e^(x)=t
x=lnt
dx=dt/t
С_(2)(x)= ∫ t*(dt/t) /t^(2)*(3t+1)
интеграл от рациональной дроби.
Раскладываем дробь на простейшие и т.д.
С_(2)(x)
подставляем в первое уравнение системы:
и находим C_(1)(x)