Задача 59705 x' = x-y-5t y' = -4x+4y...

607d200923f4fe194bce068e

13.05.2021 11:42:24

x' = x-y-5t
y' = -4x+4y

5f3ea7e3faf909182968ddd9

13.05.2021 12:56:48

★

Выражаем у из первого уравнения и подставляем во второе

[m]\left\{\begin {matrix}y=x-x`-5t\\(x-x`-5t)`=-4xZ+4\cdot (x-x`-5t)\end {matrix}\right.[/m]

Решаем второе уравнение:

[m](x-x`-5t)`=-4x+4\cdot (x-x`-5t)[/m]

[m]x`-x``-5=-4x+4x-4x`-20t[/m]

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

[m]x``-5x`=20t-5[/m]

Решаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

[m]x``-5x`=0[/m]

Составляем характеристическое уравнение:

k^2-5k=0

k_(1)=0; k_(2)=5 - корни действительные различные

Тогда общее решение однородное дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

x_(общее одн.)=С_(1)e^(0*x)+C_(2)*e^(5x)

x_(общее одн.)=С_(1)+C_(2)*e^(5x)


f(t)=20t-5 - функция имеет "специальный" вид.

Частное решение находим в виде этой функции и умножаем на t ( потому что t=0 корень характеристического уравнения)



x_(частное неодн)=t*(At+B) ⇒ x_(частное неодн)=At^2+Bt

x`_(частное неодн)=2At+B

x``_(частное неодн)=2A


Подставляем в неоднородное уравнение:[m]x``-5x`=20t-5[/m]

2A-5*(2At+B)=20t-5

2A-10At-5B=20t-5

-10A=20

2A-5B=-5


A=-2

B=1/5


x_(общее неодн)=x_(общее одн)+х_(частное неодн)

x_(общее неодн)=С_(1)+C_(2)*e^(5x)+t*(-2t+(1/5))



Тогда

y_(общее неодн)=x-x`-5t=

=С_(1)+C_(2)*e^(5x)+t*(-2t+(1/5))-5C_(2)e^(5x)-4t+(1/5)-5t

y_(общее неодн)=С_(1)-4С_(2)*e^(5x)-2t^2-(44/5)t+(1/5)


О т в е т.
x_(общее неодн)=С_(1)+C_(2)*e^(5x)+t*(-2t+(1/5))
y_(общее неодн)=С_(1)-4С_(2)*e^(5x)-2t^2-(44/5)t+(1/5)