Задача 59680 ...

5fbd576964081d1dafcb1af2

11.05.2021 12:48:53

14. Вычислить ∫ ∫_(Q) (x^2+y^2+z^2)dq, где Q — часть поверхности конуса y=sqrt(x^2+z^2), о отсеченной плоскостями y =0, y=1.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

11.05.2021 13:36:27

★

y=sqrt(x^2+z^2) - коническая поверхность ( см. рис.)

только та часть, которая справа от 0


Q - область на плоскости xОz

это внутренность круга, ограниченного окружностью

x^2+z^2=1

которая получена в результате пересечения конической поверхности и плоскости у=1


∫∫_(Q)(x^2+y^2+z^2)dQ= ∫∫_(x^2+z^2 ≤1) (x^2+(x^2+z^2)+z^2)dxdz= ∫∫_(x^2+z^2 ≤1) (2x^2+2z^2)dxdz=[/m]


переход к полярным координатам:

x= ρ cos θ
z= ρ sin θ

x^2+z^2= ρ ^2

dxdz= ρd ρ d θ

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2π


[m]= ∫_{0} ^{1} ∫_{0} ^{2π} 2ρ ^2( ρ d ρ d θ )=[/m]