k_(касательной) = f ` (x_(o))
a)
f`(x)=(4+x^2)`=2x
f`(x_(o))=f`(2)=2*2=[b]4[/b] ⇒ k_(касательной) =4 >0
tg α =k_(касательной)
tg α=4 >0 ⇒ α - острый угол
б)
f`(x)=(1-(1/x))`=1/x^2
f`(x_(o))=f`(3)=[b]1/9[/b] ⇒ k_(касательной) =1/9 >0
tg α =k_(касательной)
tg α=1/9 >0 ⇒ α - острый угол
2.
a)
f`(x)=(2-x-x^3)`=-1-3x^2
f`(a)=f`(0)=[b]-1[/b] ⇒
f(a)=f(0)=2-0-0^3=2
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x=a имеет вид
y-f(a)=f`(a)*(x-a)
y-2=-1*(x-0)
[b]y=-x+2[/b]
Уравнение нормали к кривой y=f(x) в точке x=a имеет вид
y-f(a)=-(1/f`(a))*(x-a)
y-2=1*(x-0)
[b]y=x+2[/b]
б)
f`(x)=(2sqrt(3x-5))`=3/sqrt(3x-5)
f`(a)=f`(2)=[b]3[/b] ⇒
f(a)=f(3)=2sqrt(3*2-5)=2sqrt(2)
Уравнение касательной
y-2sqrt(2)=3*(x-2)
[b]y=3*x-6+2sqrt(2)[/b]
Уравнение нормали
y-2sqrt(2)=(-1/3)*(x-2)
[b]y=-(1/3)*x+(2/3)+2sqrt(2)[/b]
3.
a)
y=x-3 ⇒ y=kx+b
k=3
Параллельные прямые имеют одинаковые k
k_(касательной)=3
Найдем, в каких точках выполняется это равенство
f`(x)=-x^3-2x
-x^3-2x=3
x^3+1+2x+2=0
(x+1)*(x^2-x+1+2)=0
[b]x=-1[/b]
x^2-x+1+2=0 не имеет корней, D<0
б)
y=9x-5 ⇒ y=kx+b
k=9
Параллельные прямые имеют одинаковые k
k_(касательной)=9
Найдем, в каких точках выполняется это равенство
f`(x)=-x^3-2x
-x^3-2x=9
x^3+2x+9=0
x ≈ -1,762
???
4.
f`(x)=3x^2-6x+3
f`(x)=0
3x^2-6x+3=0
[b]x=1[/b]
5.
[m]\sqrt[5]{245}=\sqrt[5]{243+2}=\sqrt[5]{243\cdot (1+\frac{2}{243})}=3\cdot \sqrt[5]{1+\frac{2}{243}}[/m]
[m]f(x)=\sqrt[5]{1+x}[/m]
[m]f`(x)=((1+x)^{\frac{1}{5}})`=\frac{1}{5}\cdot(1+x)^{\frac{1}{5}-1} [/m]
[m]x_{o}=0[/m]
[m]x_{o}+ Δx=0+\frac{2}{243}[/m]
[m] Δx=\frac{2}{243}[/m]
подставить в формулу ( см скрин)