Задача 59497 14. Вычислить объем тела, ограниченного...

5fbd576964081d1dafcb1af2

28.04.2021 19:35:50

14. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
z^2=x^2+y^2, x^2+y^2+z^2 = 1, (z>0)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

29.04.2021 00:06:31

★

Находим линию пересечения поверхностей:

{z^2=x^2+y^2
{x^2+y^2+z^2=1

x^2+y^2+(x^2+y^2)=1

2x^2+2y^2=1

x^2+y^2=1/2 - окружность


V= ∫∫_(D)(sqrt(1-x^2-y^2)-sqrt(x^2+y^2))dxdy=

переходим к полярным координатам

= ∫_(0)^(2π ) [b]([/b][blue]∫_(0) ^(\sqrt(1/2))(sqrt(1- ρ ^2)-sqrt( ρ ^2)) ρ d ρ[/blue] [b])[/b]d θ =

=∫_(0)^(2π)[b]( [/b][blue](-1/2)∫_(0) ^(\sqrt(1/2))(sqrt(1-ρ ^2)*(-2ρ d ρ)-∫_(0) ^(\sqrt(1/2)) ρ ^2d [/blue] [b])[/b]d θ=



=∫_(0)^(2π )[b]( [/b](-1/2)*(1- ρ ^2)^(3/2)/(3/2)-( ρ ^3/3)[b])[/b]|_(0) ^(\sqrt(1/2))d θ =

=2π*((-1/3)*sqrt(1/8)+(1/3)sqrt(1)-(1/3)*(sqrt(1/2)^3)=...