Задача 59174 z= x^2+y^2+z^2: M(1,1,1); a...

5f9504a7f4c6ff70082064ad

10.04.2021 11:35:36

z= x^2+y^2+z^2: M(1,1,1); a (3,2,6)

Найти

1) grad_z в точке M

2) Производную в точке M по направлению вектора a.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.04.2021 17:54:58

★

В задании опечатка. Трехмерное пространство. Вектор vector{a} имеет три координаты.

Значит поле u=u(x;y;z) - функция трех переменных

Найти не [m]gradz[/m], a [m]gradu[/m]


1)
Вектор
[m]gradu= \frac{∂u}{∂x}\vec{i} + \frac{∂u}{∂y}\vec{j} + \frac{∂u}{∂x}\vec{k} [/m]

Найдем:
[m] \frac{∂u}{∂x}=(x^2+y^2+z^2)`_{x}=2x[/m]

[m] \frac{∂u}{∂y}=(x^2+y^2+z^2)`_{x}=2y[/m]

[m] \frac{∂u}{∂z}=(x^2+y^2+z^2)`_{x}=2z[/m]



[m] \frac{∂u}{∂x}(M)=2\cdot 1=2[/m]

[m] \frac{∂u}{∂y}(M)=2\cdot 1=2[/m]

[m] \frac{∂u}{∂z}(M)=2\cdot 1=2[/m]

[m]gradu(M)= 2\cdot \vec{i} + 2\cdot\vec{j} + 2\cdot\vec{k} [/m]



2)

Производная по направлению:

[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }= \frac{∂u}{∂x}cos α + \frac{∂u}{∂y}cos β + \frac{∂u}{∂x}cos γ [/m]


[m]|\vec{a}|=\sqrt{3^2+2^2+6^2}=\sqrt{39}[/m]

Направляющие косинусы вектора vector{a}:

[m]cos α=\frac{a_{x}}{|\vec{a}|}=\frac{3}{\sqrt{39}}[/m]

[m]cos β =\frac{a_{y}}{|\vec{a}|}=\frac{2}{\sqrt{39}}[/m]

[m]cos γ =\frac{a_{z}}{|\vec{a}|}=\frac{6}{\sqrt{39}}[/m]


[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }(M)=2\cdot \frac{3}{\sqrt{39}} + 2\cdot \frac{2}{\sqrt{39}} + 2\cdot \frac{6}{\sqrt{39}} = \frac{22}{\sqrt{39}} [/m]