Задача 59040 ...
Условие
∫ (0 to ln 2) dz / (e^z + 1) .
математика ВУЗ
383
Решение
★
[m]e^{z}=t-1[/m]
[m]z=ln(t-1)[/m]
[m]dz=\frac{1}{t-1}dt[/m]
[m]z=0 ⇒ t=e^{0}+1=1+1=2[/m]
[m]z=ln2 ⇒ t=e^{ln2}+1=2+1=3[/m]
Получим
[m] ∫ ^{3}_{2}\frac{1}{t}\cdot \frac{1}{t-1}dt= ∫ ^{3}_{2}\frac{1}{t(t-1)}dt=[/m]
Раскладываем на две дроби
[m]\frac{1}{t(t-1)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t-1}[/m]
B=1
A=-1
[m] ∫^{3}_{2}\frac{1}{t-1}dt-∫^{3}_{2}\frac{1}{t}dt=(ln|t-1|)|^{3}_{2}-(ln|t|)|^{3}_{2}=[/m]
[m]=ln|3-1|-ln|2-1|-(ln|3|-ln|2|)=ln2-ln1-ln3+ln2=2ln2-ln3=ln\frac{4}{3}[/m]
