Задача 58370 Из всех прямоугольных параллелепипедов,...

5fdf2a6fec9d2930a08993a9

08.03.2021 10:31:50

Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную длину диагонали, найти тот, объем которого наибольший.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

08.03.2021 21:24:37

★

Пусть ребра параллелепипеда
х;y;z

d^2=x^2+y^2+z^2 ⇒ z^2=d^2-x^2-y^2

d=sqrt(d^2-x^2-y^2)

V=x*y*z

V(x;y)=x*y*sqrt(d^2-x^2-y^2)

Исследуем эту функцию на наибольшее значение.

Находим частные производные. Применяем формулу производная произведения:
V`_(x)=(x*y)`_(x)*sqrt(d^2-x^2-y^2)+(xy)*(sqrt(d^2-x^2-y^2))`_(x);

V`_(x)=y*sqrt(d^2-x^2-y^2)+x*y*(d^2-x^2-y^2)`_(x)/(2sqrt(d^2-x^2-y^2)

V`_(x)=y*sqrt(d^2-x^2-y^2)+x*y*(-2x)/(2sqrt(d^2-x^2-y^2)

V`_(x)=y*sqrt(d^2-x^2-y^2)+x*y*(-x)/(sqrt(d^2-x^2-y^2)

V`_(x)=[b]([/b]y*(d^2-x^2-y^2)-x^2y[b])[/b]/(sqrt(d^2-x^2-y^2)

Аналогично.

V`_(y)=(x*y)`_(y)*sqrt(d^2-x^2-y^2)+(xy)*(sqrt(d^2-x^2-y^2))`_(y);

V`_(y)=x*sqrt(d^2-x^2-y^2)+x*y*(d^2-x^2-y^2)`_(y)/(2sqrt(d^2-x^2-y^2)

V`_(y)=x*sqrt(d^2-x^2-y^2)+x*y*(-2y)/(2sqrt(d^2-x^2-y^2)

V`_(y)=x*sqrt(d^2-x^2-y^2)+x*y*(-y)/(sqrt(d^2-x^2-y^2)

V`_(y)=[b]([/b]x*(d^2-x^2-y^2)-x*y^2[b])[/b]/(sqrt(d^2-x^2-y^2)


Находим стационарные точки:

Решаем систему уравнений:

{V`_(x)=0
{V`_(y)=0 ⇒

{y*(d^2-x^2-y^2)-x^*2y=0
{x*(d^2-x^2-y^2)-x*y^2=0

{y*(d^2-2x^2-y^2)=0
{x*(d^2-x^2-2y^2)=0

x=0'y=0

x^2-y^2=0 ⇒ x=y; x=-y

d^2=3x^2⇒

x^2=d^2/3



Применяем достаточное условие экстремума.

Находим вторые частные производные:

V``_(xx)=(V`_(x))`_(x)=
V``_(xy)=(V`_(x))`_(y)=
V``_(yy)=(V`_(y))`_(y)=

Находим вторые частные производные в точках возможных экстремумов

A=V``_(xx)(x_(o);y_(o))=
B=V``_(yy)(x_(o);y_(o))=
C=V``_(xy)(x_(o);y_(o))=