Задача 58028 решите систему уравнений { x^2/y +...

603254563cfdeb46290cb453

21.02.2021 15:40:04

решите систему уравнений

{ x^2/y + y^2/x = 12;
{ 1/x + 1/y = 1/3.

5f3ffd6fb5ac0b3cc606fb26

21.02.2021 17:51:49

★

{x^2/y+y^2/x=12 {(x^3+y^3)/xy=12 { (x+y)[(x+y)^2-3xy]/xy=12
{1/x+1/y=1/3; {(x+y)/xy=1/3; {(x+y)=xy/3;
xy/3*[(xy/3)^2-3xy]/xy=12. Пусть xy=t, тогда получаем t^2/9-3t=36
Решаем уравнение t^2-27t-324=0 D=729+1296=2025, t1=(27+45)/2=36
t2=(27-45)/2=-9 Получаем две системы каждую из которых решаем по формулам Виета: 1){ xy=36 {xy=-9
{x+y=12; {x+y=-3,
Решаем первую систему: t^2-12t+36=0; (t-6)^2=0 отсюда t=6 x=y=6
Решаем вторую систему: t^2+3t-9=0; D=45 ; t1=(-3+(45)^1/2)/2; t2=(-3-(45)^1/2)/2 Отсюда получаем корни второго уравнения ((-3+(45)^1/2)2; (-3-(45)^1/2)/2); ((-3-(45)^1/2)/2; (-3-(45)^1/2)/2; (-3+(45)^1/2)/2
Проверка показывает, что найденные значения неизвестных являются корнями исходной системы уравнений.
Ответ: (6; 6 ), ((-3-(45)^1/2)/2; (-3+(45)^1/2)/2); (-3+(45)^1/2)/2;(-3-(45)^1/2)/2.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

23.02.2021 18:12:28

Решаем способом замены уравнения на равносильное ему.

Для этого :умножаем первое уравнение на второе:
[m]\frac{x^2}{y}\cdot\frac{1}{x}+\frac{x^2}{y}\cdot\frac{1}{y}+\frac{y^2}{x}\cdot\frac{1}{x}+\frac{y^2}{x}\cdot\frac{1}{y}=4[/m]

[m]\frac{x}{y}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+\frac{y}{x}=4[/m]

Замена:

[m]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t[/m]

Тогда

[m]\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=t^2-2[/m]


[m]t^2-2+t=4[/m]

[m]t^2+t-6=0[/m]

[m]t_{1}=-3[/m] или [m]t_{2}=2[/m]

Обратный переход:

[m]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-3[/m] или [m]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2[/m]

Заменим в данной системе первое уравнение на полученные, получим две системы:

[m]\left\{\begin {matrix}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-3\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\end {matrix}\right.[/m]

Замена:

[m]\frac{x}{y}=z[/m]; [m]\frac{y}{x}=\frac{1}{z}[/m] ⇒

[m]\left\{\begin {matrix}z^2+3z+1=0\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}z^2-2z+1=0\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}z=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}z=1\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\end {matrix}\right.[/m]

Обратная замена:
[m]\left\{\begin {matrix}\frac{x}{y}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}\frac{x}{y}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\end {matrix}\right.[/m]или[m]\left\{\begin {matrix}\frac{x}{y}=1\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\end {matrix}\right.[/m]

Решаем способом подстановки:

[m]\left\{\begin {matrix}x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}y\\\frac{1}{\frac{-3-\sqrt{5}}{2}y}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}y\\\frac{1}{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}y}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\end {matrix}\right.[/m]или[m]\left\{\begin {matrix}x=y\\\frac{1}{y}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\end {matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin {matrix}x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}y\\y=\frac{3\cdot (1+\frac{-3-\sqrt{5}}{2})}{\frac{-3-\sqrt{5}}{2}}\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}y\\y=\frac{3\cdot (1+\frac{-3+\sqrt{5}}{2})}{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}\end {matrix}\right.[/m]или[m]\left\{\begin {matrix}x=y=6\\y=6\end {matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin {matrix}x=-\frac{3(\sqrt{5}+1)}{2}\\y=\frac{3\cdot (\sqrt{5}+1)}{\sqrt{5}+3}\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}x=\frac{3(\sqrt{5}-1)}{2}\\y=\frac{3\cdot (\sqrt{5}-1)}{\sqrt{5}-3}\end {matrix}\right.[/m]или[m]\left\{\begin {matrix}x=y=6\\y=6\end {matrix}\right.[/m]

О т в е т. [m] (-\frac{3(\sqrt{5}+1)}{2};\frac{3\cdot (\sqrt{5}+1)}{\sqrt{5}+3})[/m]; [m] (\frac{3(\sqrt{5}-1)}{2};\frac{3\cdot (\sqrt{5}-1)}{\sqrt{5}-3})[/m]; [m](6;6)[/m]

Система имеет [b]три[/b] решения