Задача 57767 ...

60180b06ac63fb2d907af1da

8 февраля 2021 г. в 05:47

(x²+4/x²)–(x+2/x)–8=0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

8 февраля 2021 г. в 08:48

★

Замена переменной:

[m]x+\frac{2}{x}=t[/m]

Возводим в квадрат:

[m]x^2+2\cdot x\cdot \frac{2}{x}+ (\frac{2}{x})^2=t^2[/m]

[m]x^2+4+ \frac{4}{x^2}=t^2[/m]

⇒

[m]x^2+ \frac{4}{x^2}[/m]=[m]t^2-4[/m]

Тогда уравнение принимает вид:

[m]t^2-4[/m][m] - t - 8=0[/m]


Решаем квадратное уравнение

[m]t^2-t-12=0[/m]

D=49


[m]t_{1}=-3[/m] или [m]t_{2}=4[/m]


Обратный переход:

[m]x+\frac{2}{x}=-3[/m] или [m]x+\frac{2}{x}=4[/m]

[m]x^2+3x+2=0[/m] или [m]x^2-4x+2=0[/m]

D=9–8=1 или D=16–8=8

[m]x_{1}=-2; x_{2}=-1[/m] или [m]x_{3}=2-\sqrt{2}; x_{4}=2+\sqrt{2}[/m]