Задача 57553 Помогите пжл с решением двух задач по...
Условие
Задача 1. Вычислить объём тела, заданного представленными уравнениями, используя его поперечные сечения
Задача 2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, заданной представленными линиями 
Решение
[m]V_{Ox}=π∫^{1}_{0}(−4x^3)^2dx=π∫^{1}_{0}(16x^6)dx=16π⋅\frac{x^7}{7}|^{1}_{0}=\frac{16}{7}π[/m]
Задача 1.
[m]z-4=\sqrt{y^2+2z^2}[/m]
Возводим в квадрат:
[m](z-4)^2=y^2+2z^2[/m]
[m]z^2+8z+y^2-16=0[/m]
[m]z^2+8z+16+y^2-32=0[/m]
[m](z+4)^2+y^2=32[/m] - это уравнение эллипса в пл уOz, а значит цилиндрической поверхности в пространстве
Это бесконечная поверхность, вдоль оси Ох. См. рис.
По условию ограничена пл. х=5 Получается с одной стороны.
А значит тело неограниченное.
Поэтому я думаю, что в условии [b]опечатка.[/b]
[b]Наверное[/b] ( что не почетно, гадать, что должно быть )
так:
[m]x=4+ \sqrt{y^2+2z^2}[/m]
[m]x-4= \sqrt{y^2+2z^2}[/m]
Возводим в квадрат и получаем:
[m](x-4)^2=y^2+2z^2[/m] - это коническая поверхность.
Эллиптический конус в с вершиной в точке (4;0;0) cм скрин 3.
Но уравнение в условии задачи [m]x=4+ \sqrt{y^2+2z^2}[/m] означает, что дана только та часть, которая выше точки (4;0;0) по направлению оси Ох.
И тогда все замечательно, потому как есть ограниченный слой на участке от 4 до 5
Рассекаем этой слой плоскостью x=h
4 < h < 5, в сечении получим эллипс
[m]h=4+ \sqrt{y^2+2z^2}[/m] или [m](h-4)^2=y^2+2z^2[/m] или [m]\frac{y^2}{(h-4)^2}+\frac{z^2}{(\frac{h-4}{\sqrt{2}})^2} =1[/m]
Площадь эллипса [m]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} =1[/m] равна [m]πab[/m]
Площадь эллипса
[m]h=4+ \sqrt{y^2+2z^2}[/m] ⇒ [m]\frac{y^2}{(h-4)^2}+\frac{z^2}{\frac{(h-4)^2}{2}} =1[/m]
зависит от h и равна [m]S (h)=π\cdot (h-4)\cdot\frac{ (h-4)}{\sqrt{2}}[/m]
[m]V= ∫ ^{5}_{4}S(x)dx[/m]
Где вместо S(x) это S(h) при h=x
[m]V= ∫ ^{5}_{4}S(x)dx=∫ ^{5}_{4}π\cdot (x-4)\cdot\frac{ (x-4)}{\sqrt{2}}dx=\frac{ π}{\sqrt{2}}∫ ^{5}_{4}(x-4)^2dx=[/m]
[m]=\frac{ π}{\sqrt{2}}\cdot (\frac{ (x-4)^3}{3}|^{5}_{4}=\frac{ π}{3\sqrt{2}}[/m]
----------------------
