Задача 57552 Дано скалярное поле u =u(х; у): а)...

5fe1d16c1c6d1142ab515db1

30.01.2021 10:00:26

Дано скалярное поле u =u(х; у): а) составить уравнение линии уровня и = С и построить её график; 6) вычислить с помощью градиента производную скалярного поля и =и(х; у) в точке А по направлению вектора АВ U=U(x,y)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

30.01.2021 10:27:37

★

a)[m]x^2+y^2+4x+2y=C [/m]- уравнение линии

[m]x^2+4x+y^2+2y=C [/m]- уравнение линии

[m]x^2+4x+4+y^2+2y+1=C-5 [/m]-окружности с центром (-2;-1)

[m](x+2)^2+(y+1)^2=C-5 [/m]


б)
[m] ∂u/ ∂x=u`_{x}=(x^2+y^2+4x+2y)`_{x}=2x+4[/m]
[m] ∂u/ ∂y=u`_{y}=(x^2+y^2+4x+2y)`_{y}=2y+2[/m]

[m] (∂u/∂x)|_{A}= u`_{x}(A)=2\cdot (-2+\frac{\sqrt{3}}{2})+4=\sqrt{3}[/m]
[m](∂u/∂y)|_{A}=u`_{y}(A)=2\cdot (-\frac{1}{2})+2=1[/m]

[m]\vec{AB}=(0;\frac{1}{2})[/m]
[m]|\vec{AB}|=\frac{1}{2}[/m]

cos α =0
cos β =1

1 cпособ ( см. скрин 1)

[m] ∂ u/ ∂ l|_{A}=(∂u/ ∂x)|_{A} \cdot cos α +(∂u/ ∂y)|_{A}\cdot cos β =\sqrt{3}\cdot 0+1\cdot 1=1[/m]

2 способ
[m]\vec{gradu}=(∂u/ ∂x)\cdot \vec{i}+(∂u/ ∂y)\cdot \vec{j}[/m]

[m]\vec{gradu (A)}=(∂u/ ∂x)|_{A}\cdot \vec{i}+(∂u/ ∂y)|_{A}\cdot \vec{j}=\sqrt{3}\cdot \vec{i}+1\cdot \vec{j}[/m]

[m] ∂ u/ ∂ l|_{A}=пр_{\vec{AB}}(\vec{gradu (A)})=\frac{\vec{gradu (A)}\cdot \vec{AB}}{|\vec{AB}|}=\frac{\sqrt{3}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 1}{\frac{1}{2}}=1[/m]


====