Задача 57464 ...
Условие
Решение
[m]2^{x}+2^{-x}=t[/m]
[red]t ≥ 2[/red]
Возводим в куб:
[m](2^{x}+2^{-x})^3=t^3[/m]
[m]2^{3x}+3\cdot (2^{x})^2\cdot 2^{-x}+3\cdot 2^{x}\cdot (2^{-x})^2+2^{-x})^3=t^3[/m]
[m]2^{3x}+3\cdot 2^{x}+3\cdot 2^{-x}+2^{-3x}=t^3[/m] ⇒
[m]2^{3x}+2^{-3x}=t^3-3\cdot (2^{x}+ 2^{-x})[/m]
[m]2^{3x}+2^{-3x}=t^3-3\cdot t[/m]
Уравнение принимает вид:
[m]t^3-3\cdot t + 8=5t[/m]
[m]t^3-8t+8=0[/m]
[m]t=2[/m] - корень уравнения, так как [m]2^3-8\cdot 2+8=0[/m]
[m](t-2)\cdot (t^2+2t-4)=0[/m]
[m]t^2+2t-4=[/m] ⇒ [m]t^2+2t+1=5[/m] ⇒ [m](t+1)^2=5[/m]
[m]t+1=\sqrt{5}[/m] или [m]t+1=-\sqrt{5}[/m]
[m]t=\sqrt{5}-1[/m] или [m]t=-\sqrt{5}-1 < 0[/m]
Оба корня не удовл условию [red]t ≥ 2[/red]
Обратный переход:
[m]2^{x}+2^{-x}=2[/m] ⇒[m] x=0[/m]
О т в е т. 0