Задача 57431 X^4+2x^3-11x^2+4x+4=0...

60011884960c3c35933ddd81

27 января 2021 г. в 09:10

X⁴+2x³–11x²+4x+4=0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27 января 2021 г. в 09:35

★

Очевидно, что х=1 является корнем уравнения, так как
1⁴+2·1³–11·1²+4·1+4=0

Значит левая часть раскладывается на множители:

(x–1)·(x³+ax²+bx+c)=0

Раскроем скобки:

x⁴+x³+ax³+ax²+bx²+bx+cx+c=0

левые части уравнений равны.

Приравниваем:

x⁴–x³+ax³–ax²+bx²–bx+cx–c=x⁴+2x³–11x²+4x+4

Приводим слева подобные ( записываем многочлен в стандартном виде)

x⁴+(a–1)x³+(–a+b)x²+(–b+c)x–c=x⁴+2x³–11x²+4x+4

Два многочлена равны, если равны их степени и коэффициенты при одинаковых степенях

x⁴=x⁴
(a–1)x³=2x³ ⇒ a–1=2
(–a+b)x²=–11x² ⇒ –a+b=–11
–b+c=4
c=–4

b=–8

a=3

Уравнение принимает вид:

(x–1)·(x³+3x²–8x–4)=0

Очевидно, что х=2 – корень уравнения, так как
(2–1)·(2³+3·2²–8·2–4)=0
0=0

Значит, уравнение имеет вид:
(x–1)(x–2)·(x²+px+q)=0

(x–1)·(x³–2x²+px²–2px+qx–2q)=0 ⇒ x³–2x²+px²–2px+qx–2q=x³+3x²–8x–4 ⇒

2q=–4 ⇒ q=–2

–2p+q=–8 ⇒ –2p–2=–8 ⇒ –2p=–6 ⇒ p=3

(x–1)·(x–2)·(x²+3x–2)=0

D=9+8=17

x₃=(–3–√17)/2; x₄=(–3+√17)/2.

О т в е т. 1; 2;(–3–√17)/2; (–3+√17)/2.