Задача 57431 X^4+2x^3-11x^2+4x+4=0...
Условие
Решение
1^4+2*1^3–11*1^2+4*1+4=0
Значит левая часть раскладывается на множители:
(x-1)*(x^3+ax^2+bx+c)=0
Раскроем скобки:
x^4+x^3+ax^3+ax^2+bx^2+bx+cx+c=0
левые части уравнений равны.
Приравниваем:
x^4-x^3+ax^3-ax^2+bx^2-bx+cx-c=x^4+2x^3-11x^2+4x+4
Приводим слева подобные ( записываем многочлен в стандартном виде)
x^4+(a-1)x^3+(-a+b)x^2+(-b+c)x-c=x^4+2x^3-11x^2+4x+4
Два многочлена равны, если равны их степени и коэффициенты при одинаковых степенях
x^4=x^4
(a-1)x^3=2x^3 ⇒ a-1=2
(-a+b)x^2=-11x^2 ⇒ -a+b=-11
-b+c=4
c=-4
b=-8
a=3
Уравнение принимает вид:
[b](x-1)*(x^3+3x^2-8x-4)=0[/b]
Очевидно, что х=2 - корень уравнения, так как
(2-1)*(2^3+3*2^2-8*2-4)=0
0=0
Значит, уравнение имеет вид:
(x-1)(x-2)*(x^2+px+q)=0
(x-1)*(x^3-2x^2+px^2-2px+qx-2q)=0 ⇒ x^3-2x^2+px^2-2px+qx-2q=x^3+3x^2-8x-4 ⇒
2q=-4 ⇒ [b]q=-2[/b]
-2p+q=-8 ⇒ -2p-2=-8 ⇒ -2p=-6 ⇒ [b]p=3[/b]
(x-1)*(x-2)*(x^2+3x-2)=0
D=9+8=17
x_(3)=(-3-sqrt(17))/2; x_(4)=(-3+sqrt(17))/2.
О т в е т. 1; 2;(-3-sqrt(17))/2; (-3+sqrt(17))/2.