Задача 57228 Найти общее решение уравнений. y'' -...

6009240ca8b7045a0a52db6d

21.01.2021 09:55:16

Найти общее решение уравнений.

y'' - 4y' = 2e^(2x) - 4x

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21.01.2021 12:14:34

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:

y``-4y`=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k=0

k_(1)=0; k_(2)=4- корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(0x)+C_(2)*e^(4x)

y_(одн.)=С_(1)+C_(2)*e^(4x)


Так как f(x)=f_(1)(x)+f_(2)(x)

f_(1)(x)=2e^(2x)

f_(2)(x)=-4x

поэтому частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=y_(част 1)+y_(част 2)

y_(част 1) соответствует f_(1)(x)=2e^(2x)

y_(част 1) =A*e^(2x)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част1)=2Ae^(2x)

y``_(част1)=4A*e^(2x)

подставляем в данное уравнение:

4A*e^(2x)-2А*e^(2x)=2e^(2x)

2А=2

[b]А=1[/b]

y_(част 1)=e^(2x)

y_(част 2)соответствует f_(2)(x)=-4x

так как x=0 - корень характеристического уравнения, поэтому y_(част 2) имеет вид:

y_(част 2) =[b]x*[/b](Mx+N)


y`_(част 2) =2Mx+N

y``_(част 2) =2M


2M-4*(2Mx+N)=-4x

-8M=-4

M=1/2

2M-4N=0

N=1/4

y_(част 2) =x*((1/2)x+(1/4)=(1/2)x^2+(1/4)x

Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част 1)+y_(част 2) =

= [b]С_(1)+C_(2)*e^(4x)+e^(2x) +(1/2)x^2+(1/4)x[/b]