Задача 56936 Вариант 14. 6) Дан тетраэдр \(ABCD\);...

5fb99a3b64081d1dafcb0749

14.01.2021 11:43:35

Вариант 14.
6) Дан тетраэдр \(ABCD\); точка \(F\) - центроид (точка пересечения медиан) грани \(BCD\); точка \(Z\) - середина ребра \(AB\). Найти координаты векторов, определяемых ребрами тетраэдра и медианами грани \(BCD\) относительно базиса B

5f3ea7e3faf909182968ddd9

14.01.2021 12:27:30

★

[m]\vec{AF}=\frac{1}{3}\cdot (\vec{AD}+\vec{AB}+\vec{AC})[/m] ⇒

[m]\vec{AD}=\vec{c}[/m]

[m]\vec{AB}=2\vec{a}[/m]

[m]\vec{AF}=\vec{b}[/m]


[m]\vec{AC}=\vec{b}-\frac{1}{3}\cdot \vec{c}-\frac{2}{3}\vec{a}=-\frac{2}{3}\vec{a}+\vec{b}-\frac{1}{3}\cdot \vec{c}[/m]


По правилу треугольника:

[m]\vec{BC}=\vec{BD}+\vec{DC}[/m]


Найдем

[m]\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{AD}=-2\vec{a}+\vec{c}[/m]

[m]\vec{DC}=\vec{BA}+\vec{AD}=-(-\frac{2}{3}\vec{a}+\vec{b}-\frac{1}{3}\cdot \vec{c})+\vec{c}=\frac{2}{3}\vec{a}-\vec{b}+\frac{4}{3}\cdot \vec{c}[/m]


Тогда [m]\vec{BC}=(-2\vec{a}+\vec{c})-\vec{b}+(\frac{2}{3}\vec{a}-\vec{b}+\frac{4}{3}\cdot \vec{c})=-\frac{4}{3}\vec{a}-2\vec{b}+\frac{7}{3}\cdot \vec{c}[/m]

Медианы грани BCD ( нет оснований медиан, надо ввести новые буквы, поэтому часть каждой медианы):

[m]\vec{BF}=\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\vec{BC}+\frac{1}{2}\vec{BD})=\frac{1}{3}\vec{BC}+\frac{1}{3}\vec{BD}=[/m]

[m]\vec{DF}=\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\vec{DC}+\frac{1}{2}\vec{DB})=\frac{1}{3}\vec{DC}+\frac{1}{3}\vec{DB}=[/m]

[m]\vec{CF}=\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\vec{CD}+\frac{1}{2}\vec{CB})=\frac{1}{3}\vec{CD}+\frac{1}{3}\vec{CB}=[/m]


О т в е т.
[m]\vec{AD}=\vec{c}[/m]

[m]\vec{AB}=2\vec{a}[/m]

[m]\vec{AC}=-\frac{2}{3}\vec{a}+\vec{b}-\frac{1}{3}\cdot \vec{c}[/m]

[m]\vec{BD}=-2\vec{a}+\vec{c}[/m]

[m]\vec{DC}=\frac{2}{3}\vec{a}-\vec{b}+\frac{4}{3}\cdot \vec{c}[/m]

[m]\vec{BC}=-\frac{4}{3}\vec{a}-2\vec{b}+\frac{7}{3}\cdot \vec{c}[/m]