Задача 56834 15. Определить абсциссу точки B. 1....
Условие
1. Найти расстояние от точки M(2; 1; 4) до плоскости, проходящей через точку N(-1; 2; 1) перпендикулярной плоскости 2x – y + 4z – 5 = 0 и 2x – y + 4z + 4 = 0.
2. Плоскость проходит через точки A(3; 1; 1), B(7; 2, 1) и C(1; 1; 2). Написать уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно к этой плоскости.
3. При каких значениях m и n прямые будут параллельны
Решение
пл α _(1): х-2у+z-4=0 ⇒ vector{n_(1)}=(1;-2;1) - нормальный вектор пл α _(1)
пл α _(2): х+2у-2z+4=0 ⇒ vector{n_(2)}=(1;2;-2) - нормальный вектор пл α _(2)
vector{n_(1)} × vector{n_(2)}=vector{n} - нормальный вектор плоскости перпендикулярной пл α _(1) и пл α _(2)
vector{n}=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-2&1\\1&2&-2\end {vmatrix}=2\vec{i}+3\vec{j}+4\vec{k}[/m]
vector{n}=(2;3;4)
Уравнение плоскости, проходящей через точку (x_(o);y_(o);z_(o)) c нормальным вектором vector{n}=(A;B;C)
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0
Подставляем координаты точки N(-1;-1;2) и vector{n}=(2;3;4)
2*(x+1)+3*(y+1)+4*(z-2)=0
2x+3y+4z-3=0
d=|2*2+3*1+4*1-3|/sqrt(2^2+3^2+4^2)=8/sqrt(29)=8sqrt(29)/29
3.
Найдем направляющий вектор первой прямой ( см. рис.)
vector{q_(1)}=vector{n_(1)} × vector{n_(2)}=vector{n}=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\m&0&-3\\1&2&0\end {vmatrix}=6\vec{i}-3\vec{j}+2m\vec{k}[/m]
vector{q_(1)}=(6;-3;2m)
направляющий вектор второй прямой
vector{q_(2)}=(n;-6;4)
Прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны.
Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны.
Пропорция:
6:n=(-3):(-6)=2m:4
6:n=(-3):(-6) ⇒ -3n=-36; [blue][b] n=12[/b][/blue]
(-3):(-6)=2m:4 ⇒ -12m=-12 ⇒[blue][b] m=1[/b][/blue]
