Задача 56825 ...

5ff9ed37960c3c35933db683

10 января 2021 г. в 01:56

Решите уравнение: 4x² – 9x – 11 = 4(√5 + √3)² – 9(√5 + √3) – 11.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10 января 2021 г. в 11:46

★

[m]4x^2-9x-11=4(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2-9\cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})-11[/m]

Переносим слагаемые из правой части влево:

[m]4x^2-9x-11-4\cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2+9\cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})+11=0[/m]

Раскладываем левую часть на множители:

[m]4\cdot (x^2-(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2)-9\cdot (x-(\sqrt{5}+\sqrt{3}))=0[/m]

[m]4\cdot (x-(\sqrt{5}+\sqrt{3}))\cdot(x+(\sqrt{5}+\sqrt{3})) -9\cdot (x-(\sqrt{5}+\sqrt{3}))=0[/m]

[m]4\cdot (x-\sqrt{5}-\sqrt{3})\cdot (x+\sqrt{5}+\sqrt{3})) -9\cdot (x-\sqrt{5}-\sqrt{3})=0[/m]

Раскладываем левую часть на множители:




4·[m](x-\sqrt{5}-\sqrt{3})[/m]·[m](x+\sqrt{5}+\sqrt{3})[/m] –9·[m](x-\sqrt{5}-\sqrt{3})[/m]=0

[m](x-\sqrt{5}-\sqrt{3})[/m]·[m](4\cdot (x+\sqrt{5}+\sqrt{3})-9)=0[/m]

[m](x-\sqrt{5}-\sqrt{3})[/m]=0 или [m] 4\cdot (x+\sqrt{5}+\sqrt{3})-9[/m]=0 ⇒ [m]4x+4\sqrt{5}+4\sqrt{3}=9 ⇒ 4x=9-4\sqrt{5}-4\sqrt{3}[/m]

[m]x=\sqrt{5}+\sqrt{3} [/m] или [m]x=\frac{9}{4}-\sqrt{5}-\sqrt{3}[/m]

О т в е т. [m]\sqrt{5}+\sqrt{3} [/m] ; [m]\frac{9}{4}-\sqrt{5}-\sqrt{3}[/m]





2 способ

[m]x_{1}=\sqrt{5}+\sqrt{3} [/m] – корень уравнения по определению

Подставим в уравнение и получаем верное равенство.

Чтобы найти второй, (так как уравнение–то квадратное),

переносим слагаемые из правой части влево:

[m]4x^2-9x-11-4\cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2+9\cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3} [/m])+11=0

[m]4x^2-9x+9\cdot \sqrt{5}+9\sqrt{3}-4\cdot(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2=0[/m]

По теореме Виета

[m]x_{1}+x_{2}=\frac{9}{4}[/m]

[m]x_{2}=\frac{9}{4}-x_{1}=\frac{9}{4}-\sqrt{5}-\sqrt{3}[/m]

О т в е т. [m]\sqrt{5}+\sqrt{3} [/m] ; [m]\frac{9}{4}-\sqrt{5}-\sqrt{3}[/m]