Задача 56445 ...
Условие
y = ln x, x = b, y = ln a, при a < b.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
{x = 6(t - sin t) , y = 6(1 - cos t)}
y = 9, при y >= 9 и 0 <= x <= 12π.
Решение
[m]S= ∫ ^{b}_{a}(lnx-lna)dx=∫^{b}_{a}lnx dx-∫^{b}_{a}lna dx=[/m]
первый интеграл считаем по частям
u=lnx ⇒ du=dx/x
dv=dx ⇒ v=x
[m]=(x\cdot lnx)|^{b}_{a}- ∫ ^{b}_{a}x\cdot \frac{dx}{x}-lna∫^{b}_{a}lna dx=[/m]
считайте...
2.
Это циклоида
См. скрин 3
Условие, что 0 ≤ х ≤ 12π cоответствует одному витку циклоиды:
2π*а=2π*6
6*(1-cost)=9 ⇒ 1-cost=3/2 ⇒ cost=-1/2 ⇒ t_(1)=4π/3; t_(2)=5π/3 ⇒
[m]x_{1}=6\cdot (\frac{4π}{3}-sin\frac{4π}{3})=8π-6(-\frac{\sqrt{3}}{2})=8π+3\sqrt{3}[/m]
[m]x_{2}=6\cdot (\frac{5π}{3}-sin\frac{5π}{3})=10π-6(-\frac{\sqrt{3}}{2})=10π+3\sqrt{3}[/m]
[m] S=∫^{\frac{5π}{3}}_{\frac{4π}{3}}6\cdot (1-cost)\cdot (6\cdot (t-sint))` dt-∫^{10π+3\sqrt{3}}_{8π+3\sqrt{3}}9dx=[/m]
[m]=36\cdot ∫ ^{\frac{5π}{3}}_{\frac{4π}{3}} (1-cost)^2dt-9\cdot2π=[/m]
[m]=36\cdot ∫^ {\frac{5π}{3}}_{\frac{4π}{3}} (1-2cost+cos^2t)dt-9\cdot2π=[/m]
[m]=36\cdot ∫^ {\frac{5π}{3}}_{\frac{4π}{3}} (1-2cost+\frac{1+cos2t}{2})dt-9\cdot 2π=[/m]
