Задача 5626 ...

EkaterinaVolkova

18.12.2015

Найдите точку минимума функции y=(0,5–x)cosx+sinx, принадлежащую промежутку (0;π/2).

liza

18.12.2015

★

D(f) = (−∞;∞).
y' = (0,5 − x)'·cosx + (0,5 − x)·(cosx)' + (sinx)' =
= −cosx − (0,5 − x)·sinx + cosx = (x − 0,5)·sinx

Точек, где y' не существует, нет.
Решаем уравнение y' = 0.
(x − 0,5)·sinx = 0, если
либо (x − 0,5) = 0, x = 0,5;
либо sinx = 0, xn = πn.

Проверяем принадлежность найденных значений x заданному промежутку.
Значения, кратные π, не принадлежат промежутку. При n = 0, x0 = 0, но заданный помежуток интервал и 0 в него не входит. Остальные значения больше π/2 или меньше 0.
0 < 0,5 < π/2 ≈ 1,57. Точка x = 0,. Для проверки знаков производной в окрестности x = 0,5 возьмём, например, x = 0,45 и x = 0,55.
y'(0,45) = (0,45 − 0,5)·sin0,45 = −0,05sin0,45 < 0;
y'(0,45) = (0,55 − 0,5)·sin0,55 = 0,05sin0,55 > 0

Ответ: 0,5