Все ребра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9. Основание О высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1. М - середина ребра SB, точка L лежит на ребре CD так, что CL:LD=7:2 а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM - равнобокая трапеция. б)Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Условие

18 декабря 2015 г.

Все ребра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9. Основание О высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1. М – середина ребра SB, точка L лежит на ребре CD так, что CL:LD=7:2
а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM – равнобокая трапеция.
б)Вычислите длину средней линии этой трапеции.

математика 10-11 класс 28184

Решение

AnyaGracheva

21 декабря 2015 г.

★

Ищем точку пересечения пряой S1M с плоскостью основания . Соединяем S1 с точкой В и с точкой М. В треугольнике SBS1 ВО и S1M являются медианами, пересекаются в точке К. КВ = 2/3 ВО = 2/3 ·2/3ВF. F – середина DC.. КВ = 4/9 BF.
По условию DL = 2/9DC = 2/9·2DF = 4/9 DF.
Значит FL/LD = 5/4 и FK/KB =5/4, по теореме,обратной теореме Фалеса, LK||DB.
Следовательно, секущая плоскость пересечет грань DBS по прямой, параллельной DB и проходящей через точку М. Это будет трапеция РМNL. РМ – средняя линия грани и равна 4,5 Отрезки РL и NМ будут равны из равенства треугольников MNB, DLP. Трапеция равнобедренная _ доказано. Из подобия треугольников LCN и DCB с коэффициентом 7/9 можно найти LN = 7/9 DB = 7.
Ище среднюю линию трапеции, равную полусумме оснований (7+4,5)/2 =11,5/2 =5,75. Остальное видно из чертежа. Задача эта не из простых!!!