Задача 55992 y'' - 9y = 2 - x, y(0) = 0, y'(0) = 1....

5fce59cdbebf07120cddb2b5

7 декабря 2020 г. в 19:39

y'' – 9y = 2 – x, y(0) = 0, y'(0) = 1.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

7 декабря 2020 г. в 21:49

★

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''–9y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k²–9=0
k₁=–3 и k₂=3 – корни действительные различные,

поэтому общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_{общее одн}=C₁e^–3x+C₂e^3x – общее решение однородного уравнения



Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение имеет вид:

y_{частное неодн}=Аx+B


y`_{частное неодн} =A
y``_{частное неодн}=0
Подставляем в данное неоднородное уравнение:

0–9·(Ax+B)=2–x
–9Ax–9B=–x+2
два многочлена равны, если равны их степени и равны коэффициенты

при одинаковых степенях переменной

–9А=–1
–9B=2

A=1/9
D=–2/9


y_{общее неодн}=у_{общее однород} +y_{частное неодн}

– общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

y_{общее неодн}=C₁e^–3x+C₂e^3x+(1/9)x–(2/9)


Решение задачи Коши:

y(0)=0
C₁e⁰+C₂e⁰+(1/9)·0–(2/9)=0

y`(0)=1

y`_{общее неодн}=–3·C₁e^–3x+3·C₂e^3x+(1/9)

–3C₁e⁰+3C₂e⁰+(1/9)=1

Из системы уравнений:
{C₁+C₂–(2/9)=0
{–3C₁+3C₂+(1/9)=1

находим С₁=–1/27 и С₂=7/27 и получаем частное решение

y=(–1/27)e^–3x+(7/27)e^3x+(1/9)x–(2/9)