Задача 55988 ...

5fce0ce4bebf07120cddb1db

7 декабря 2020 г. в 14:07

Решить систему уравнений

{ log₅ x + 3^{log₃ y} = 7
{ x^y = 5¹²

5f3ea7e3faf909182968ddd9

7 декабря 2020 г. в 22:30

★

Основное логарифмическое тождество:

[m] 3^{log_{3}y}=y[/m], y >0

Второе уравнение системы логарифмируем:
[m]\left\{\begin{matrix} log_{5}x+y=7
\\log_{5}x^{y}=log_{5}5^{12} \end{matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin{matrix} log_{5}x=7-y
\\y\cdot log_{5}x=12 \end{matrix}\right.[/m]

Способ подстановки:

[m]y\cdot (7-y)=12[/m]

[m]y^2-7y+12=0[/m]

D=49–48=1

y₁=3; y₂=4

Оба корня удовлетворяют условию y>0

x₁=5⁴; x₂=5³


О т в е т. (625; 3); (125;4)