Задача 55975 ...
Условие
1. limx→–2 (x3 + 8) / (2x3 – x2 – 8x – 4).
2. limx→2 (√(x + 7) – 3) / (1 – √(3 – x)).
3. limx→0 (tg x – sin x) / x3.
4. limx→∞ ((1 – x2) / (3 + x2))4x2.
Решение
[m]\lim_{x \to -2 }\frac{x^3+8}{x^3-x^2-8x-4}=\frac{(-2)^3+8}{(-2)^3-(-2)^2-8\cdot (-2)-4}=\frac{0}{0}[/m]
неопределенность
раскладываем на множители и числитель и знаменатель:
[m]=\lim_{x \to -2 }\frac{(x+2)\cdot (x^2-2x+4)}{(x+2)\cdot (x^2-3x-2}=\lim_{x \to -2 }\frac{x^2-2x+4}{x^2-3x-2}=\frac{(-2)^2-2\cdot (-2)+4}{(-2)^2-3\cdot (-2)-2}=[/m]... считайте.
2.
[m]\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{x+7}-3}{1-\sqrt{3-x}}=\frac{0}{0}[/m]
Умножаем и числитель и знаменатель на
[m](\sqrt{x+7}+3)\cdot (1+\sqrt{3-x})[/m]
[m]=\lim_{x \to 2}\frac{(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)\cdot (1+\sqrt{3-x})}{(1-\sqrt{3-x})(\sqrt{x+7}+3)\cdot(1+\sqrt{3-x})}=[/m]
Применяем формулу разности квадратов a2–b2=(a–b)·(a+b)
[m]\lim_{x \to 2}\frac{((\sqrt{x+7})^2-3^2)(1+\sqrt{3-x})}{(1^2-(\sqrt{3-x})^2)\cdot (\sqrt{x+7}+3)}=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)\cdot (\sqrt{x+7}+3)}{(1-(3-x))\cdot (\sqrt{x+7}+3))}=[/m]
Сокращаем на [m](x-2)[/m]
[m]=\lim_{x \to 2}\frac{1+\sqrt{3-x}}{\sqrt{x+7}+3}=\frac{1+1}{3+3}=\frac{1}{3}[/m]
3.
[m]\lim_{x \to 0}\frac{tgx-sinx}{x^3}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{sinx}{cosx}-sinx}{x^3}=\lim_{x \to 0}\frac{sinx\cdot \frac{1-cosx}{cosx}}{x^3}=\lim_{x \to 0}\frac{sinx\cdot 2sin^2\frac{x}{2}}{x^3\cdot cosx}=[/m]
[m]=2\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}\cdot \frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot \frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2\cdot 2\cdot cosx} =\frac{1}{2}[/m]
4.
см. второй замечательный предел
[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{1-x^2}{3+x^2})^{4x^2}=\lim_{x \to\infty}(\frac{\frac{1-x^2}{x^2}}{\frac{3+x^2}{x^2}})^{4x^2} =
\lim_{x \to\infty}\frac{(\frac{1}{x^2}-1)^{4x^2}}{(1+\frac{3}{x^2})^{4x^2}}=[/m]
[m]=\lim_{x \to\infty}\frac{(1-\frac{1}{x^2})^{4x^2}}{(1+\frac{3}{x^2})^{4x^2}} =\lim_{x \to\infty}\frac{((1-\frac{1}{x^2})^{x^2})^{4}}{((1+\frac{3}{x^2})^{\frac{x^2}{3}})^{12}}= \frac{(e^{-1})^4}{e^{12}}=e^{-16}[/m]