Задача 55857 ...

5f92738380c7303e80e65d67

27 ноября 2020 г. в 18:53

Лопиталь (1 задача)

lim ln(2x) • ln(2x–1)
x → 1/2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28 ноября 2020 г. в 00:17

★

[m]=ln1\cdot ln0=0\cdot ∞ [/m] неопределенность

Произведение u·v всегда можно представить в виде дроби: u/(1/v) или v/(1/u)

[m]lim_{x →\frac{1}{2}} ln(2x)\cdot ln(2x-1)=lim_{x →\frac{1}{2}}\frac{ln(2x-1)}{\frac{1}{ln(2x)}}[/m]

получили неопределенность

( ∞ / ∞ ) и теперь можно применить правило Лопиталя:

[m]=lim_{x →\frac{1}{2}}\frac{(ln(2x-1))`}{(\frac{1}{ln(2x)})`}=lim_{x →\frac{1}{2}}\frac{\frac{(2x-1)`}{2x-1}}{(-\frac{1}{ln(2x))^2)}\cdot (ln(2x)`}= lim_{x →\frac{1}{2}}\frac{\frac{2}{2x-1}}{(-\frac{1}{ln(2x))^2)}\cdot\frac{2}{2x}}= lim_{x →\frac{1}{2}}\frac{-xln^2(2x)}{2x-1}=\frac{0}{0} [/m]

Применяем правило Лопиталя еще раз:

[m] lim_{x →\frac{1}{2}}\frac{(-xln^2(2x))`}{(2x-1)`}= lim_{x →\frac{1}{2}}\frac{(-ln^2(2x)-x\cdot 2ln(2x)\cdot \frac{2}{2x}}{2} =0[/m]