Задача 55833 ...

5f92738380c7303e80e65d67

26 ноября 2020 г. в 20:49

Лопиталь (1 задача)

lim (1–x)^{log₂ x}
x→1

5f3ea7e3faf909182968ddd9

26 ноября 2020 г. в 21:43

★

[m]y=(1-x)^{log_{2}x}[/m]

Логарифмируем:

[m]lny=ln(1-x)^{log_{2}x}[/m]

Применяем свойство логарифма степени:

[m]lny=log_{2}x\cdot ln(1-x)[/m]

Находим предел:

[m]lim_{x →1} lny=lim_{x →1} log_{2}x\cdot ln(1-x)[/m] ⇒

[m]lim_{x →1} log_{2}x\cdot ln(1-x)=0\cdot ∞ [/m] неопределенность

Произведение u·v всегда можно представить в виде дроби: u/(1/v) или v/(1/u)

[m]lim_{x →1} log_{2}x\cdot ln(1-x)=lim_{x →1}\frac{ln(1-x)}{\frac{1}{log_{2}x}}[/m] получили неопределенность

( ∞ / ∞ ) и теперь можно применить правило Лопиталя:

[m]=lim_{x →1}\frac{(ln(1-x))`}{(\frac{1}{log_{2}x})`}= [/m] cчитайте...