Задача 55720 Дана треугольная призма ABCAB1C1; точки...

5fb99a3b64081d1dafcb0749

22 ноября 2020 г. в 01:53

Дана треугольная призма ABCAB1C1; точки F и O являются серединами ребер AA1 и AC соответственно. Введен базис [m]B = \{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \}; \vec{a} = \overrightarrow{OF}, \vec{b} = \overrightarrow{OB}, \vec{c} = \overrightarrow{CC1}[/m]. Найти координаты векторов, определяемых ребрами призмы и медианами грани ABC.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

22 ноября 2020 г. в 09:26

★

по правилу треугольника :
[m]\vec{OF}+\vec{FB_{1}}=\vec{OB_{1}}[/m] ⇒ [m]\vec{FB_{1}}=\vec{OB_{1}}-\vec{OF}=\vec{b}-\vec{a}[/m]

В грани ABB₁A₁ по правилу многоугольника:
[m]\vec{FB_{1}}=\vec{FA}+\vec{AB}+\vec{BB_{1}}[/m] ⇒

[m]\vec{AB}=\vec{FB_{1}}-\vec{FA}-\vec{BB_{1}}=\vec{b}-\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{c}[/m] ⇒ [m]\vec{AB}=(-1;1;-\frac{1}{2})[/m]

⇒ [m]\vec{BA}=(1;-1;\frac{1}{2})[/m]

В грани ACC₁A₁ по правилу треугольника:
[m]\vec{OA}=\vec{OF}+\vec{FA}[/m] ⇒ [m]\vec{OA}=\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{c}[/m]

[m]\vec{AC}=-2\vec{OA}=-2\vec{a}+\vec{c}[/m] ⇒ [m]\vec{AC}=(-2;0;1)[/m]


В грани ABC по правилу треугольника:
[m]\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}[/m] ⇒[m]\vec{BC}=(-2+1;0+(-1);1+\frac{1}{2})=(-1;-1;\frac{3}{2})[/m]

В грани ABC по правилу треугольника
[m]\vec{BO}=\frac{1}{2}\vec{BA}+\frac{1}{2}\vec{BC}[/m] ⇒[m]\vec{BC}=(\frac{1-1}{2};\frac{-1-1}{2};\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}{2})=(0;-1;2)[/m]

[m]\vec{CB}=(0;1;-2)[/m]


Пусть M– точка пересечения медиан треугольника АВС.

[m]\vec{BM}=\frac{2}{3}\vec{BO}[/m] ⇒[m]\vec{BM}=(0;-\frac{2}{3};\frac{4}{3})[/m]

[m]\vec{CM}=\vec{CB}+\vec{BM}[/m] ⇒[m]\vec{CM}=(0;1-\frac{2}{3};-2+\frac{4}{3})=(0;\frac{1}{3};-\frac{2}{3})[/m]

Пусть K – cередина AB

[m]\vec{CM}=\frac{2}{3}\vec{CK} [/m] ⇒[m]\vec{CK}=\frac{3}{2}\vec{CM}=(0;\frac{1}{2};-1)[/m]

Пусть N – cередина BC

[m]\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}[/m] ⇒[m]\vec{AM}=(-1+0;1+(-\frac{2}{3});(-\frac{1}{2}+\frac{4}{3}))=...[/m]