Задача 55606 ...
Условие
Решение
[m] ((\sqrt{2})^2)^{x+\sqrt{x^2-4}}-5\cdot(\sqrt{2})^{x+\sqrt{x^2-4}}\cdot (\sqrt{2})^{-2}-6=0 [/m];
[m] ((\sqrt{2})^{x+\sqrt{x^2-4}})^2-\frac{5}{2}\cdot(\sqrt{2})^{x+\sqrt{x^2-4}}-6=0 [/m];
[m] 2\cdot (\sqrt{2})^{x+\sqrt{x^2-4}})^2-5\cdot(\sqrt{2})^{x+\sqrt{x^2-4}}-12=0 [/m];
Замена переменной:
[m] (\sqrt{2})^{x+\sqrt{x^2-4}}=t[/m]; [red][m] t >0[/m][/red]
⇒ [m]2t^2 - 5t - 12 = 0[/m]
[m]D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot (-12)=121[/m]
[m] t_{1}=-\frac{3}{2}< 0[/m] или [m] t_{2}=4[/m]
Обратный переход:
[m] (\sqrt{2})^{x+\sqrt{x^2-4}}=4[/m] ⇒ [m] (\sqrt{2})^{x+\sqrt{x^2-4}}=(\sqrt{2})^4[/m] ⇒
[m]x+\sqrt{x^2-4}=4[/m]
⇒ [m]\sqrt{x^2-4}=4-x[/m]
Возводим в квадрат:
[m]x^2-4=16-8x+x^2[/m]
[m]8x=20[/m]
[m]x=2,5[/m]
Проверка.
[m] 2^{2,5+\sqrt{2,5^2-4}}-5\cdot(\sqrt{2})^{2,5-2+\sqrt{2,5^2-4}}-6=0 [/m]
[m] 2^{4}-5\cdot(\sqrt{2})^{2}-6=0 [/m]- верно, 16-10-6=0
О т в е т. [b]2,5[/b]