Задача 55594 ...

5f9bb4ba6feaba08a85e0062

15 ноября 2020 г. в 12:55

2^{x + √x2 – 4} – 5(√2)^{x – 2 + √x2 – 4} – 6 = 0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

15 ноября 2020 г. в 13:58

★

[m] 2^{x+\sqrt{x^2-4}}-5\cdot(\sqrt{2})^{x-2+\sqrt{x^2-4}}-6=0 [/m];

[m] ((\sqrt{2})^2)^{x+\sqrt{x^2-4}}-5\cdot(\sqrt{2})^{x+\sqrt{x^2-4}}\cdot (\sqrt{2})^{-2}-6=0 [/m];

[m] ((\sqrt{2})^{x+\sqrt{x^2-4}})^2-\frac{5}{2}\cdot(\sqrt{2})^{x+\sqrt{x^2-4}}-6=0 [/m];

[m] 2\cdot (\sqrt{2})^{x+\sqrt{x^2-4}})^2-5\cdot(\sqrt{2})^{x+\sqrt{x^2-4}}-12=0 [/m];



Замена переменной:
[m] (\sqrt{2})^{x+\sqrt{x^2-4}}=t[/m]; [m] t >0[/m]

⇒ [m]2t^2 - 5t - 12 = 0[/m]

[m]D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot (-12)=121[/m]

[m] t_{1}=-\frac{3}{2}< 0[/m] или [m] t_{2}=4[/m]


Обратный переход:
[m] (\sqrt{2})^{x+\sqrt{x^2-4}}=4[/m] ⇒ [m] (\sqrt{2})^{x+\sqrt{x^2-4}}=(\sqrt{2})^4[/m] ⇒

[m]x+\sqrt{x^2-4}=4[/m]

⇒ [m]\sqrt{x^2-4}=4-x[/m]

Возводим в квадрат:

[m]x^2-4=16-8x+x^2[/m]

[m]8x=20[/m]

[m]x=2,5[/m]

Проверка.

[m] 2^{2,5+\sqrt{2,5^2-4}}-5\cdot(\sqrt{2})^{2,5-2+\sqrt{2,5^2-4}}-6=0 [/m]

[m] 2^{4}-5\cdot(\sqrt{2})^{2}-6=0 [/m]– верно, 16–10–6=0

О т в е т. 2,5