Задача 55583 ...

5fafcc3b322e6f41f4eb6fae

14 ноября 2020 г. в 15:36

1. Вычислить интеграл ∬_D r³ drdφ, если D имеет вид 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1/⁴√sin⁴φ + cos⁴φ

5f3ea7e3faf909182968ddd9

14 ноября 2020 г. в 16:26

★

[m]= ∫ ^{2π}_{0} (∫ ^{\frac{1}{\sqrt[4]{sin^4 φ +cos^4 φ }}}_{0}r^3dr)d φ =∫ ^{2π}_{0} (\frac{r^4}{4})|^{\frac{1}{\sqrt[4]{sin^4 φ +cos^4 φ }}}_{0}d φ =∫ ^{2π}_{0}\frac{1}{4(sin^4φ +cos^4φ )}d φ =[/m]

так как [m]sin^4 φ +cos^4 φ =(sin^2 φ)^2 +(cos^2 φ)^2=(\frac{1-cos2 φ }{2})^2+(\frac{1+cos2 φ }{2})^2=\frac{2+2cos^22 φ}{4} [/m]

[m]=∫ ^{2π}_{0}\frac{1}{2+2cos^22 φ }d φ =[/m]

так как [m]cos^22 φ=\frac{1+cos4 φ }{2 } [/m]

[m]=∫ ^{2π}_{0}\frac{1}{3+cos4 φ }d φ =[/m]