Задача 55579 Нужно решить "Уровнение и система...

🌬️❄️

14 ноября 2020 г. в 15:27

Нужно решить "Уровнение и система логарифмических задач" спасибо заранее????

exponenta

14 ноября 2020 г. в 18:30

★

1)
ОДЗ:
$\left\{\begin{matrix} x>0\\x≠ 1\\2x^{x-2}-1>0 \end{matrix}\right.$


$log_{x}(2x^{x-2}-1)=2x-4$

$2x^{x-2}-1=x^{2x-4}$

$(x^{x-2})^2-2x^{x-2}+1=0$

$(x^{x-2}-1)^2=0$

$x^{x-2}=1$

Логарифмируем:

$lgx^{x-2}=lg1$

$(x-2)lgx=0$

$x-2=0$ или $lgx=0$ ⇒ x=1 не входит в ОДЗ

$x=2$ удовлетворяет трем неравенствам в ОДЗ

$\left\{\begin{matrix} 2>0\\2≠ 1\\2\cdot 2^{2-2}-1>0 \end{matrix}\right.$

О т в е т. 2


2)
$\left\{\begin{matrix} log_{2}(x+y)\cdot (x-y)^3=5\\2^{x}-5\cdot 2^{0,5x}\cdot 2^{0,5y}\cdot 2^{-0,5}+2\cdot 2^{y}=0 \end{matrix}\right.$

$2^{x}-5\cdot 2^{0,5x}\cdot 2^{0,5y}\cdot 2^{-0,5}+2\cdot 2^{y}=0$

Замена:
$2^{0,5x}=u$; $2^{0,5y}=v$ ⇒ $u^2-\frac{5}{\sqrt{2}}u\cdot v+2v^2=0$

$D=(\frac{5}{\sqrt{2}}v)^2-4\cdot 2v^2=\frac{25}{2}v^2-8v^2=\frac{25-16}{2}v^2=\frac{9}{2}v^2$

$u^2-\frac{5}{\sqrt{2}}u\cdot v+2v^2=(u-\frac{1}{\sqrt{2}}v)(u-\frac{4}{\sqrt{2}}v)$


$\left\{\begin{matrix} (x+y)\cdot (x-y)^3=2^5\\ (2^{0,5x}-\frac{1}{\sqrt{2}}2^{0,5y})(2^{0,5x}-\frac{4}{\sqrt{2}}2^{0,5y})=0\end{matrix}\right.$


$\left\{\begin{matrix} (x+y)\cdot (x-y)^3=2^5\\ 2^{0,5x}-\frac{1}{\sqrt{2}}2^{0,5y}=0\end{matrix}\right.$или $\left\{\begin{matrix} (x+y)\cdot (x-y)^3=2^5\\2^{0,5x}-\frac{4}{\sqrt{2}}2^{0,5y}=0 \end{matrix}\right.$


$\left\{\begin{matrix} (x+y)\cdot (x-y)^3=2^5\\ 2^{0,5x}=2^{0,5y-0,5}\end{matrix}\right.$или $\left\{\begin{matrix} (x+y)\cdot (x-y)^3=2^5\\2^{0,5x}=2^{0,5y+1,5} \end{matrix}\right.$


$\left\{\begin{matrix} (x+y)\cdot (x-y)^3=2^5\\0,5x=0,5y-0,5\end{matrix}\right.$или $\left\{\begin{matrix} (x+y)\cdot (x-y)^3=2^5\\0,5x=0,5y+1,5 \end{matrix}\right.$


$\left\{\begin{matrix} (x+y)\cdot (x-y)^3=2^5\\x=y-1\end{matrix}\right.$или $\left\{\begin{matrix} (x+y)\cdot (x-y)^3=2^5\\x=y+3 \end{matrix}\right.$