Задача 55510 [m]\frac{1}{2}\log_{3}(-x-16) +...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin{matrix}-x-16>0 \\-x ≥0\\\sqrt{-x}-4>0 \end{matrix}\right.[/m]
По формуле перехода к другому основанию:
[m]log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{-x}-4)=-log_{3}(\sqrt{-x}-4)[/m]
Тогда уравнение имеет вид:
[m]\frac{1}{2}log_{3}(-x-16)-log_{3}(\sqrt{-x}-4)=1[/m]
Умножаем на 2:
[m]log_{3}(-x-16)-2log_{3}(\sqrt{-x}-4)=2[/m], так как [m]2=log_{3}9[/m]
[m]log_{3}(-x-16)=2log_{3}(\sqrt{-x}-4)+log_{3}9[/m]
По свойству логарифма степени:
[m]log_{3}(-x-16)=log_{3}(\sqrt{-x}-4)^2+log_{3}9[/m]
происходит расширение ОДЗ, так как появилось [m] (\sqrt{-x}-4)^2[/m]
Расширение ведет к появлению посторонних корней, которые в ходе проверки можно исключить
Чтобы проверку не делать вначале решения находим ОДЗ исходного уравнения....
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения
(для этого переносила вправо, чтобы не связываться с логарифмом частного)
[m]log_{3}(-x-16)=log_{3}(\sqrt{-x}-4)^2\cdot 9[/m]
Логарифмическая функция с основанием 3 >1 строго возрастает,
значит каждое свое значение принимает один раз
Если значения функции равны, то и аргументы равны:
[m](-x-16)=(\sqrt{-x}-4)^2\cdot 9[/m]
[m]-x-16=(-x+8\cdot \sqrt{-x}+16)\cdot 9[/m]
[m]8(-x)+72\cdot \sqrt{-x}+160=[/m]
[m](-x)+9\cdot \sqrt{-x}+20=0[/m] ; [m](-x)=( \sqrt{-x})^2[/m]
Квадратное уравнение относительно [m]\sqrt{-x}[/m]
D=81–80=1
[m]\sqrt{-x}=-5[/m] или [m]\sqrt{-x}=-4[/m]
Нет корней.
√–x ≥ 0