Задача 55396 ...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin{matrix}
x>0\\x-2>0\\2x^2-7x+6 >0 \end{matrix}\right.[/m]
Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения
( на этом этапе применения формулы происходит [i]расширение области допустимых значений уравнения.[/i]
А это означает могут появиться [b]посторонние[/b] корни.
Почему? Потому что в первоначальном уравнении под первым логарифмом был только х, под вторым (х-2).
После применения формулы под знаком логарифма их произведение.
А произведение положительно когда множители оба положительны или оба отрицательны.
Случай отрицательности x и отрицательности (x-2) мы и исключаем, указав ОДЗ.
Если этого не сделать, то обязательно делаем проверку найденных корней.)
[m]log_{7}x\cdot (x-2)=log_{7}(2x^2-7x+6)[/m] ⇒ свойство[i] монотонности логарифмической функции[/i]
Каждое свое значение монотонно возрастающая или монотонно убывающая функция
принимает только один раз, т.е в одной точке,
если значения функции равны, то и аргументы равны:
[m]x\cdot (x-2)=2x^2-7x+6[/m]
[m]x^2-5x+6=0[/m]
[m]x=2[/m] или [m]x=3[/m]
[m]x=2[/m] - не входит в ОДЗ не удовлетворяет второму неравенству
Ответ: 3
Все решения
x^2-2*x-2*x^2+7*x-6=0
-x^2+5*x-6=0
x^2-5x+6=0
x=2; x=3 Ответ х=3