Задача 55285 ...
Условие
Решение
[m] \sqrt{x+1}=t[/m] ⇒ [m] x+1=t^2 ⇒ x=t^2-1[/m]
[m]dx=(t^2-1)`dt=2tdt[/m]
[m]∫ \frac{dx}{x\cdot \sqrt{x+1}}= ∫ \frac{2tdt}{(t^2-1)\cdot t}=2 ∫ \frac{dt}{t^2-1}=2\cdot \frac{1}{2}ln\frac{t-1}{t+1}+C=ln\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}-1}+C[/m]
[i]По частям:[/i]
[r]∫ udv=u*v- ∫ vdu[/r]
2)
[b]u[/b]=[b]2x+1[/b] ⇒[b] du[/b]=(2x+1)`dx=[b]2dx[/b]
dv=sinxdx ⇒ [b]v[/b]= ∫ sinxdx=[b]-cosx[/b]
∫ (2x+1)sinxdx=(2x+1)*(-cosx)- ∫ (-cosx)*(2dx)=-(2x+1)*cosx+2 ∫ cosxdx=-(2x+1)*cosx+2sinx+C
3)[b]u[/b]=[b]lnx[/b] ⇒[b] du[/b]=(lnx)`dx=[b](1/x)dx[/b]
dv=x^3dx ⇒ [b]v[/b]= ∫x^3dx=[b]x^4/4[/b]
∫ x^3*lnx dx=(lnx)*(x^4/4)- ∫ (x^4/4)*(1/x)dx=(1/4)*x^4*lnx-(1/4) ∫ x^3dx=(1/4)x^4*lnx-(1/4)*(x^4/4)+C=
=(1/4)x^4*lnx-(1/16)*x^4+C
7)
[b]u[/b]=[b]x^2+2x+3[/b] ⇒[b] du[/b]=(x^2+2x+3)`dx=[b](2x+2)dx[/b]
dv=cosx dx ⇒ [b]v[/b]= ∫ cosx dx=[b]sinx[/b]
∫ (x^2+2x+3)*cosx dx=(x^2+2x+3)*(sin x)- ∫ (sin x)*(2x+2)dx=(x^2+2x+3)*(sin x)-2* ∫ (x+1)*(sinx)dx
∫(x+1)* (sin x)dx
снова по частям
[b]u=x+1[/b] ⇒[b] du=dx[/b]
[b]dv=sinxdx[/b] ⇒ [b]v=-cosx[/b]
∫ (x^2+2x+3)*cosx dx=(x^2+2x+3)*(sin x)- 2∫ (x+1)*(sinx)dx=(x^2+2x+3)*(sin x)-2*((x+1)*(-cosx)- ∫ (-cosx)dx)=
=(x^2+2x+3)*(sin x)-2*(x+1)*(-cosx)-2*∫ cosx dx=(x^2+2x+3)*(sin x)-2*(x+1)*(-cosx)-2 *sinx + C
