Задача 55152 Решить систему уравнений { 1/x + 1/y +...

Molli

29 октября 2020 г. в 19:23

Решить систему уравнений

{ 1/x + 1/y + 1/z = 3
{ 1/xy + 1/yz + 1/zx = 3
{ 1/xyz = 1

exponenta

29 октября 2020 г. в 20:14

★

Рассматриваем третье уравнение: Дробь равна 1. Значит числитель равен знаменателю

xyz=1

умножаем на первое уравнение

$xyz\cdot (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3$

умножаем на второе
$xyz\cdot (\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz})=3$


Получим систему

$\left\{\begin{matrix} yz+xz+xy=3 \\z+x+y=3\\xyz=1 \end{matrix}\right.$

Это теорема Виета для кубического уравнения

t³–3t²+3t–1=0

(t–1)³=0

t₁=t₂=t₃=1

⇒ x=y=z=1