Задача 55005 Как найти разность квадратов большего и...

hirnyiigor

26 октября 2020 г. в 20:50

Как найти разность квадратов большего и меньшего корней уравнения x²+(sqrt11–sqrt8)x–sgrt77=0

exponenta

26 октября 2020 г. в 21:07

★

Квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант квадратного уравнения положителен:

[m]D=(\sqrt{11}-\sqrt{8})^2-4\cdot(-\sqrt{77})=11-2\sqrt{88}+4\sqrt{77}=11-4\sqrt{22}+4\sqrt{77}=1+4\cdot (\sqrt{77}-\sqrt{22}) >0[/m]

пусть [m]x_{1}[/m] и [m] x_{2}[/m] – корни уравнения.

По теореме Виета:
[m]x_{1}+x_{2}=-(\sqrt{11}-\sqrt{8})=\sqrt{8}-\sqrt{11} <0 [/m]
[m]x_{1}\cdot x_{2}=-\sqrt{77}[/m]

[m] x_{1} < 0[/m]; [m]x_{2}>0[/m]
и
[m]|x_{1}| > |x_{2}|[/m]

[m](x_{2}-x_{1})^2=x^2_{2}-2x_{1}\cdot x_{2}+x^2_{1}=x^2_{2}+2x_{1}\cdot x_{2}+x^2_{1}-4x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2}^2-4\cdot x_{1}\cdot x_{2}[/m]

[m]=(\sqrt{88}-\sqrt{11})^2-4\cdot (-\sqrt{77})=[/m]

[m]=8-2\sqrt{88}+11+4\sqrt{77}=19+4(\sqrt{77}-\sqrt{22})[/m]

[m]x_{2}-x_{1}=- \sqrt{19+4\sqrt{77}-4\sqrt{22})}[/m]

Осталось применить формулу разности квадратов:

[m]x^2_{2}-x^2_{1}=(x_{2}-x_{1})\cdot (x_{2}+x_{1})=-(\sqrt{11}-\sqrt{8})\cdot(- \sqrt{19+4\sqrt{77}-4\sqrt{22}})[/m]

О т в е т.
[m]x^2_{2}-x^2_{1}=(\sqrt{11}-\sqrt{8})\cdot \sqrt{19+4\sqrt{77}-4\sqrt{22}}[/m]