Задача 54953 Решить диф уравнение:...
Условие
Решение
Q(x;y)=x·e^(xy)+3y^2.
Так как
∂ P/ ∂ y=e^(xy)+xy*e^(xy);
∂ Q/ ∂ x=e^(xy)+xy*e^(xy).
и ∂ P/ ∂ y = ∂ Q/ ∂ x,
то это [b]уравнение в полных дифференциалах.[/b]
Значит, u(x;y)=C - решение дифференциального уравнения.
Функция u может быть найдена из условий:
∂ u/ ∂ x=P(x;y)
∂ u/ ∂ y=Q(x;y)
∂ u/ ∂ x=P(x;y) ⇒ [b]u(x;y)[/b]= ∫ P(x;y) dx= ∫ (2x+y·e^(xy))dx=∫ 2xdx+∫ y·e^(xy)dx=
=x^2+e^(xy)+ [b]φ (y)[/b]
[b]φ (y)[/b] = const
Находим
∂ u/ ∂ y=(x^2+e^(xy)+ [b]φ (y)[/b])`_(y)=
=x*e^(xy)+φ`(y)
Так как
∂ u/ ∂ y=Q(x;y)
то
x*e^(xy)+φ`(y)=x·e^(xy)+3y^2
φ`(y)=3y^2
Тогда
[b] φ (y)[/b]= ∫ φ `(y) dy= ∫3y^2dy=y^3
О т в е т.
u(x;y)=x^2+e^(xy)+ [b]y^3[/b]
