Задача 54789 Как решить неравенство...

5f54df62356816184059ff63

21 октября 2020 г. в 17:43

Как решить неравенство √x–1–√3–x ≥ 2^cos1/x

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21 октября 2020 г. в 18:28

★

ОДЗ:
{x–1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
{3–x ≥ 0 ⇒ x ≤ 3

x ∈ [1;3] ⇒
y=√(x–1) – возрастает на ОДЗ
y=√(3–x) – убывает на ОДЗ ⇒ y=–√3–x – возрастает на ОДЗ

y=√(x–1)–√(3–x) = √(x–1)+(–√(3–x)) возрастает на ОДЗ как сумма возрастающих функций

Причем

– √2 ≤ √x–1–√3–x ≤ √2


1 ≤ x ≤ 3

y=1/x – убывающая функция на [1;3], тогда

(1/3) ≤ (1/x) ≤ 1

y=cost – убывающая функция на [1/3;1], тогда

cos 1 ≤ cos (1/x) ≤ cos(1/3)

y=2^z – возрастающая функция на [cos 1 ; cos(1/3)], тогда

2^cos1 ≤ 2^cos(1/x) ≤ 2^cos(1/3)

2^cos(1/x) > 2^cos1 при всех 1 ≤ x ≤ 3

Осталось сравнить

2^cos1 и √2=2^1/2

1 рад < ( π/3) ⇒ cos1 > cos(π/3) =1/2

Поэтому

2^cos1 > 2 ^1/2 на [1;3]

О т в е т. ни при каких х