Задача 54662 12. Найдите наибольшее значение функции...

5f4f8d91869d6262826fbc6a

20 октября 2020 г. в 07:00

12. Найдите наибольшее значение функции y = x⁴ – (4/3)x³ + 2 на отрезке [–2; 3].

5f3ea7e3faf909182968ddd9

20 октября 2020 г. в 10:07

★

Находим производную:

[m]f `(x)=(x^4-\frac{4}{3}x^3+2)`[/m]

Применяем правила вычисления производных:
производная суммы равна сумме производных

[m]f `(x)=(x^4)`+(\frac{4}{3}x^3)`+(2)`[/m]

постоянный множитель можно выносить за знак производной:

[m]f `(x)=(x^4)`+\frac{4}{3}(x^3)`+(2)`[/m]

По таблице:
(x⁴)`=4x<sup>3</sup>
(x<sup>3</sup>)`=3x²
(C)`=0 ⇒ (2)`=0


[m]f `(x)=4x^3+\frac{4}{3}\cdot 3x^2+0[/m]

[m]f `(x)=4x^3+4x^2[/m]

Находим точки,в которых производная равна 0

[m]4x^3+4x^2=0[/m]

[m]4x^2\cdot (x+1)=0[/m]

x=0 или x+1=0 ⇒ x=–1

Это точки, в которых производная равна 0 , в этих точках возможно наличие экстремума

Чтобы узнать есть в них экстремум или нет
применяем
теорему ( достаточное условие существования экстремума ):

если в точке х_о производная равна 0
и
при переходе через точку х_о производная меняет знак + на –,
то х_о – точка максимума

если же производная меняет знак – на +, то х_о – точка минимума)

В других случаях (при смене знака + на + или – на – ) экстремума нет

Поэтому
находим знак производной:

слева от нуля производная отрицательна, справа положительна

_____–___ (0) __+____


Значит x=0 – точка минимума

0 ∈ [–2;3]

и это единственная точка экстремума:

схематически график будет выглядеть так ( см. рис. 1):

Наибольшее значение на отрезке функция будет принимать в левом или в правом конце этого отрезка.

[m]f(-2)=(-2)^4-\frac{4}{3}\cdot (-2)^3+2=16+\frac{32}{3}+2=28\frac{2}{3}[/m]

[m]f(3)=3^4-\frac{4}{3}\cdot 3^3+2=81-36+2=47[/m]– наибольшее


О т в е т.
f_{наименьшее}=f(0)=2
f_{наибольшее}=f(3)=47