Задача 54347 Найти пределы указанных функций. lim...
Условие
lim tg(3x)/sin(2x)
lim ((3x+2)/(3x-1))^(4x-1)
Решение
[m]lim_{x\rightarrow 0}\frac{tg3x}{sin2x}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{tg3x}{3x}lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x}{sin2x}lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x}{2x}=1\cdot 1\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{2}[/m]
первый замечательный предел [red] [m]lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1[/m][/red] и следствия :
[red][m]lim_{x\rightarrow 0}\frac{tgx}{x}=1[/m][/red]
[red][m]lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{sinx}=1[/m][/red]
5.
[m] lim_{x → ∞ }(\frac{3x+2}{3x-1})^{4x-1}=[/m]неопределенность (1^(∞)),
которая устраняется применением второго замечательного предела
по свойству степени [m]a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}[/m]
[m]=lim_{x → ∞ }(\frac{3x+2}{3x-1})^{4x}\cdot lim_{x → ∞ }(\frac{3x+2}{3x-1})^{-1} =[/m]
делим числитель и знаменатель дроби [m]\frac{3x+2}{3x-1}[/m] на [m] 3x[/m]
[m]=lim_{x → ∞ }(\frac{\frac{3x+2}{3x}}{\frac{3x-1}{3x}})^{4x}\cdot1=[/m]
[m]lim_{x → ∞ }(\frac{1+\frac{2}{3x}}{1-\frac{1}{3x}})^{4x}=[/m]
[m]=lim_{x → ∞ }\frac{(1+\frac{1}{\frac{3x}{2}})^{4x}}{(1-\frac{1}{3x})^{4x}}=[/m]
второй замечательный предел:
[red][m]lim_{x → ∞ }(1+\frac{1}{x})^{x}=e[/m] и следствие: [m]lim_{x → ∞ }(1+\frac{k}{x})^{x}=e^{k}[/m][/red]
[m]=\frac{e^{\frac{8}{3}}}{e^{-\frac{4}{3}}}=e^{\frac{8}{3}+\frac{4}{3}}=e^4[/m]