Задача 54261 Найти частное решение дифференциального...

5f81597093f741676573ce17

10.10.2020 09:53:58

Найти частное решение дифференциального уравнения,удовлетворяющее данному начальному условию

y'-((2x-5)/x^2)y = 5, y(2) = 4

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.10.2020 10:18:35

★

Линейное уравнение первого порядка

Решаем методом Бернулли, т.е находим решение в виде произведения двух функций:

y=u(x)*v(x)

Тогда
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение

[m] u`\cdot v+u\cdot v`-\frac {2x-5}{x^2}\cdot u\cdot v=5[/m]

Группируем:
[m] u`\cdot v+u \cdot ( v`-\frac{2x-5}{x^2}\cdot v)=5[/m]

Функции u и v - произвольные, поэтому выбираем их так, чтобы выражение в скобках обращалось в нуль

Тогда

1)
[m]v`-\frac {2x-5}{x^2}\cdot v=0[/m]
и остается:
2)
[m] u`\cdot v+u\cdot 0=5[/m]

Решаем два уравнения с разделяющимися переменными:

1)

[m]\frac{dv}{v}=\frac {2x-5}{x^2}dx[/m]

[m]\int\frac{dv}{v}=\int\frac {2x-5}{x^2}dx[/m]

[m]\int\frac{dv}{v}=\int\frac {2x}{x^2}dx-\int\frac {5}{x^2}dx[/m]

[m]\int\frac{dv}{v}=\int\frac {2}{x}dx-\int\frac {5}{x^2}dx[/m]

[m]ln|v|=2ln|x|+\frac {5}{x}[/m] ⇒ [m]v=e^{2lnx+\frac {5}{x}} [/m]


2)
[m] u`\cdot v+u\cdot 0=5[/m] ⇒ [m]\frac{du}{u}=5dx[/m]

[m]\int\frac{du}{u}=\int 5dx[/m]

[m]lnu=5x+C[/m]

[m]u=e^{5x+C}[/m]

[m]y=u\cdot v=e^{5x+C}\cdot e^{2lnx+\frac {5}{x}} [/m] - общее решение


y(2)=4

Подставляем

x=2; y=4

[m]4=e^{10+C}\cdot e^{2ln2+\frac {5}{2}} [/m]

и находим С


[m]4=e^{10}\cdot e^{C}\cdot e^{2ln2}\cdot e^{\frac {5}{2}} [/m]


[m]4=e^{10}\cdot e^{C}\cdot e^{ln2^2}\cdot e^{2,5} [/m]

основное логарифмическое тождество [m]e^{ln2^2}=4[/m]

[m]4=e^{10+2,5}\cdot e^{C}\cdot 4 [/m]

[m]1=e^{12,5}\cdot e^{C} [/m]

[m] C=-12,5[/m]

[m]y=e^{5x+-12,5}\cdot e^{2lnx+\frac {5}{x}} [/m] - частное решение