Задача 54231 решить уравнение xy'=y+(y^2-x^2)^(1/2)...
Условие
Решение
[m] y`=\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{y^2-x^2}}{x}[/m]
[m] y`=\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y^2-x^2}{x^2}}[/m]
[m] y`=\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y^2}{x^2}-1}[/m]
Однородное уравнение первого порядка.
[m]\frac{y}{x}=u[/m] ⇒ [m]y`=x`\cdot u+x\cdot u`[/m]
[m]x`=1[/m] - так как х - независимая переменная, а u` так и остается.
[m]y`= u+x\cdot u`[/m]
Подставляем в уравнение:
[m] u+x\cdot u`=u+\sqrt{u^2-1}[/m]
[m] x\cdot u`=\sqrt{u^2-1}[/m] - уравнение с разделяющимися переменными
[m]\frac{du}{\sqrt{u^2-1}}=\frac{dx}{x}[/m]
Интегрируем
[m]arcsinu=ln|x|+C[/m]
[m]u=sin(ln|x|+C)[/m]
О т в е т. y=u*x=[m](sin(ln|x|+C)\cdot x[/m]
возможные преобразования ответа:
[m]arcsinu=ln|x|+lnC[/m]
[m]u=sin(ln Cx)[/m]
О т в е т. y=u*x=[m]x\cdot (sin(lnCx)[/m]