Задача 5398 Найдите площадь выпуклого многоугольника...

DenisPerepuhov

28.11.2015

Найдите площадь выпуклого многоугольника с вершинами в точках, координаты (x;y) которых являются целочисленными решениями уравнения 17y+45=17x+5xy.

remember93

30.11.2015

★

Запишем уравнение в виде 5xy−17x+17y=45 и домножим обе части на 5. Получится (5x)(5y)−17(5x)+17(5y)=225, что равносильно (5x+17)(5y−17)=225−289=−64.

Анализируя все целочисленные делители числа 64, оставим из них только те, которые имеют вид 5k±2 при целом значении k. Это даст ±2,±8,±32. Произведение при этом может иметь один из видов 2⋅(−32), (−8)⋅8, 32⋅(−2), чему соответствуют три пары значений (x,y). Это A(−3;−3), B(−5;5), C(3;3).

Получается равнобедренный треугольник ABC, в котором BO -- медиана и высота (O -- начало координат). Ясно, что BO=52√ и AC=62√, откуда площадь треугольника равна BO⋅AC/2=30.