Задача 53881 ...

5f7aa14376b7cf17294b45a2

5 октября 2020 г. в 15:15

Упростить: а) b × (a + b + c) + a × (c – a – 2b);
б) (j + k)² + j · (k + i) + i · (2j – 3k);
в) (j + k) × (j + k) + j × (k + i) + i × (2j – 3k)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

5 октября 2020 г. в 16:56

★

1)

[m]\vec{b} × (\vec{a}+\vec{b} +\vec{c} )+\vec{a} × (\vec{c}-\vec{a} -2\vec{b} )=\vec{b} ×\vec{a}+\vec{b} × \vec{b}+\vec{b} ×\vec{c}+\vec{a} × \vec{c}-\vec{a} ×\vec{a}-2\vec{a} × \vec{b}=\vec{b} ×\vec{c}+\vec{a} × \vec{c}-3\vec{a} × \vec{b}[/m]

так как

[m]\vec{b} × \vec{b}=\vec{a} × \vec{a}=0[/m]

[m]\vec{a} × \vec{b}=-\vec{b} × \vec{a}[/m]

2)
[m]=(\vec{j}+\vec{k}) \cdot (\vec{j}+\vec{k})+\vec{j} × (\vec{k}+\vec{i})+\vec{i} × (2\vec{j}-3\vec{k})=\vec{j}\cdot\vec{j}+2\vec{j}\cdot \vec{k}+ \vec{k} \cdot \vec{k}+\vec{j} ×\vec{k}+ \vec{j} ×\vec{i}+2\vec{i} ×\vec{j}-3\vec{i} ×\vec{k}=[/m]


По определению скалярного произведения

[m]\vec{j}\cdot\vec{j}=|\vec{j}|\cdot|\vec{j}|\cdot cos 0^{o}=1\cdot 1\cdot 1=1[/m]
[m]\vec{j} ×\vec{i}=|\vec{j}|\cdot|\vec{i}|\cdot cos 90^{o}=0[/m]

По определению векторного произведения
[m]\vec{j} ×\vec{k}=\vec{i}[/m]
[m]\vec{j} ×\vec{i}=-\vec{k}[/m]
[m]\vec{i} ×\vec{k}=-\vec{j}[/m]

[m]=1+0+1+\vec{i}-\vec{k}+2\vec{k}-3(-\vec{j})=2+\vec{i}+\vec{k}+3\vec{j}[/m]


3)
[m]=(\vec{j}+\vec{k}) × (\vec{j}+\vec{k})+\vec{j} × (\vec{k}+\vec{i})+\vec{i} × (2\vec{j}-3\vec{k})=0+\vec{j} ×\vec{k}+ \vec{j} ×\vec{i}+2\vec{i} ×\vec{j}-3\vec{i} ×\vec{k}=[/m]

так как

[m]\vec{b} × \vec{b}=\vec{a} × \vec{a}=(\vec{j}+\vec{k}) × (\vec{j}+\vec{k})=0[/m]

тогда

[m]=\vec{i}-\vec{k}+2\vec{k}-3(-\vec{j})=\vec{i}+\vec{k}+3\vec{j}[/m]