Задача 53771 ...

5f6a06ffb931bd71f10f35dc

30 сентября 2020 г. в 17:08

Написать каноническое уравнение гиперболы, если:
1) c = 10 и уравнения асимптот y = ± 4/3 x;
2) ε = 3/2 и расстояние между директрисами равно 8/3;
3) ε = √2 и точка M(√3; √2) лежит на гиперболе.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

30 сентября 2020 г. в 18:44

★

1)
с=10
y= ± (4/3)x ⇒ b/a=4/3

b²=c²–a²
Каноническое уравнение гиперболы
[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]

b²=c²–a²

b/a=4/3 ⇒ b=4k; a=3k

10²=(4k)²+(3k)²

100=25k²

k²=4

k= 2 ⇒

a=4·2=8

b=3·2=6

О т в е т. [m]\frac{x^2}{8^2}-\frac{y^2}{6^2}=1[/m]



2)
Каноническое уравнение гиперболы
[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]

ε =c/a – эксцентриситет гиперболы


Уравнения директрис гиперболы:

d= ± a/ ε


Расстояние между директрисами 2a/ ε

По условию 2a/ ε =8/3 ⇒ 6a=8 ε

3a=4 ε

ε =3/2

Значит

[m]a=2[/m]

c= ε ·a=(8/3)·2=16/3

b²=c²–a²=(16/3)²–2²=220/9

[m]\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{\frac{220}{9}}=1[/m]


3)
ε =√2

Каноническое уравнение гиперболы
[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]


M(√3;√2) лежит на гиперболе, значит ее координаты удовлетворяют уравнению:

[m]\frac{(\sqrt{3})^2}{a^2}-\frac{(\sqrt{2})^2}{b^2}=1[/m]

[m]\frac{3}{a^2}-\frac{2}{b^2}=1[/m]

и
с/a=√2

b²=c²–a²