Задача 53764 4.3.48. Найти уравнения касательных к...

5f6a06ffb931bd71f10f35dc

30 сентября 2020 г. в 14:18

4.3.48. Найти уравнения касательных к эллипсу x² + 2y² = 3, параллельныx прямой x – 2y + 1 = 0.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

30 сентября 2020 г. в 15:32

★

[m]x-2y+1=0[/m] ⇒ [m]y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}[/m]

Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты ⇒
[m]y=\frac{1}{2}x+b[/m] – уравнение касательной.

Касательная и эллипс имеют одну общую точку, значит система уравнений
[m]\left\{\begin{matrix}x^2+2y^2=3\\ y=\frac{1}{2}x+b\end{matrix}\right.[/m]
имеет единственное решение

[m]\left\{\begin{matrix}x^2+2\cdot (\frac{1}{2}x+b)^2=3\\ y=\frac{1}{2}x+b\end{matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin{matrix}5x^2+4bx+4b^2-12=0\\ y=\frac{1}{2}x+b\end{matrix}\right.[/m]

Система имеет единственное, если первое уравнение системы имеет единственное решение.

Квадратное уравнение имеет одно решение, если [m] D=0[/m]

[m]D=(4b)^2-4*5*(4b^2-12)=16b^2-80b^2+240=16*(15-4b^2)[/m]


[m]15-4b^2=0[/m]

[m]b^2=\frac{15}{4}[/m]

[m]b= ± \frac{\sqrt{15}}{2}[/m]


О т в е т. [m]y=\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{15}}{2}[/m]; [m]y=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{15}}{2}[/m];