Задача 53715 ...
Условие
математика ВУЗ
602
Решение
★
Все решения
[m]\int^{\frac{1}{2}}_{0}\frac{arcsinx+1}{\sqrt{1-x^2}}dx=[/m]
интеграл от суммы равен сумме интегралов:
[m]\int^{\frac{1}{2}}_{0}\frac{arcsinx}{\sqrt{1-x^2}}dx+\int^{\frac{1}{2}}_{0}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=[/m]
Так как [m]d(arcsinx)=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}[m], то
[m]=\int^{\frac{1}{2}}_{0} arcsinx d(arcsinx)+\int^ {\frac{1}{2}}_{0}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=[/m]
[m]=(\frac{arcsin^2x}{2})|^{\frac{1}{2}}_{0} +(arcsinx)|^{\frac{1}{2}}_{0}=[/m]
[m]=\frac{(arcsin\frac{1}{2})^2}{2}+arcsin\frac{1}{2}=\frac{(\frac{\pi}{6})^2}{2}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi ^2}{72}+\frac{\pi}{6}[/m]