Задача 53686 Доказать, что последовательность...
Условие
Решение
По определению б.м
lim_(n → ∞ )a_(n)=0 ⇒ ∀ ε >0 ∃ N( ε ), ∀ n > N ( ε ) : |a_(n)|< ε
[b]34.[/b]
Находим
[m] |a_{n}-0|=|\frac{10n}{n^2+3}|=\frac{10n}{n^2+3}[/m]
[m]\frac{10n}{n^2+3} < \epsilon[/m]
Решаем это неравенство относительно n
[m] n^2 -\frac{10}{\epsilon}\cdot n+3 >0[/m]
[m] n < n_{1} [/m] или [m] n > n_{2}[/m]
[m] n_{2}=\frac{\frac{10}{\epsilon}+\sqrt{\frac{100}{\epsilon^2}-12}}{2}[/m]
[m]N ( \epsilon)=[\frac{\frac{10}{\epsilon}+\sqrt{\frac{100}{\epsilon^2}-12}}{2}]+1[/m] - целая часть n_(2) плюс 1
[b]36[/b]
Находим
[m] |a_{n}-0|=|3{-n}|=(\frac{1}{n^2+3})^{n}[/m]
[m](\frac{1}{3} )^{n}< \epsilon[/m]
Решаем это неравенство относительно n
Логарифмируем по основанию [m]\frac{1}{3} [/m]
[m] n > log_{\frac{1}{3} } \epsilon[/m]
[m]N ( \epsilon)=[ log_{\frac{1}{3} } \epsilon] + 1[/m]
[b]38[/b]
Находим
[m] |a_{n}-0|=|\frac{(n-1)^2}{2n^3}|=\frac{(n-1)^2}{2n^3}[/m]
[m]\frac{(n-1)^2}{2n^3}< \epsilon[/m]
[m]2n^3\epsilon-n^2+2n-1 > 0[/m]
Решаем это неравенство относительно n
....