Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 53684 ...

Условие

log(8-4x)(16x^2-8x+1) ≤ 2

математика 10-11 класс 2529

Решение

[b]1.[/b]

[green]ОДЗ:[/green]
[m]\left\{\begin{matrix} 8-4x>0\\ 8-4x\neq1\\16x^2-8x+1>0\end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} x<2\\ x\neq\frac{7}{4}\\(4x-1)^2>0\Rightarrow x\neq \frac{1}{4}\end{matrix}\right.[/m]

[green][m] x \in (-\infty; \frac{1}{4})\cup (\frac{1}{4};\frac{7}{4})\cup(\frac{7}{4}; 2)[/m][/green]



От неравенства
[m]log_{8-4x} (16x^2-8x+1) \leq 2[/m]

переходим к неравенству:

[m]log_{8-4x} (16x^2-8x+1) \leq 2\cdot log_{8-4x}(8-x) [/m] ⇒

применяя свойство логарифма степени, получим:

[m]log_{8-4x} (16x^2-8x+1) \leq log_{8-4x}(8-x)^2[/m]

Используя свойство возрастания или убывания логарифмической функции в зависимости от основания

получаем две системы:

[m]\left\{\begin{matrix} 8-4x>1\\16x^2-8x+1\leq(8-4x)^2\end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix}
8-4x<1\\16x^2-8x+1\geq(8-4x)^2)\end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} (8-4x-1)>0\\(16x^2-8x+1-(8-4x)^2)\leq 0 \end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix}
(8-4x-1)<0\\(16x^2-8x+1-(8-4x)^2) \geq 0\end{matrix}\right.[/m]


Первое и второе неравенство каждой из систем имеет разные знаки ⇒ их [b]произведение[/b] неположительно.

[m]\left\{\begin{matrix} f(x)>0\\g(x)\leq 0 \end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix}
f(x)<0\\g(x) \geq 0\end{matrix}\right.[/m] можно не решать две системы, а решить только одно неравенство [m]f(x)*g(x) \leq 0 [/m]
Это называется [i]метод рационализации[/i] логарифмических неравенств

Поэтому решение неравенства с учетом ОДЗ сводится к решению [i] одного только неравенства[/i]:

[m](16x^2-8x+1-(8-4x)^2)\cdot (8-4x-1) \leq0[/m]


[m] 16x^2-8x+1-(64-64x+16x^2)=16x^2-8x+1-64+64x-16x^2=56x-63=7\cdot (8x-9)[/m]


[m]7\cdot (8x-9)\cdot (7-4x) \leq0[/m]

[m]7\cdot (8x-9)\cdot (4x-7) \leq0[/m]


___+__ [[m]\frac{9}{8}[/m]] ____-___ ([m]\frac{7}{4}[/m]) _____+____

c учетом ОДЗ получаем ответ

О т в е т. [m] x \in (-\infty; \frac{1}{4})\cup (\frac{1}{4};\frac{9}{8}]\cup(\frac{7}{4}; 2)[/m]


PS [b]Все решение состоит из решения одной системы[/b], в которой первые три неравенства определяют ОДЗ и четвертое неравенство получено методом рационализации:

[red][m]\left\{\begin{matrix} 8-4x>0\\ 8-4x\neq1\\16x^2-8x+1>0\\(16x^2-8x+1-(8-4x)^2)\cdot (8-4x-1) \leq0\end{matrix}\right.[/m][/red]

[red][m]\left\{\begin{matrix} x<2\\ x\neq\frac{7}{4}\\(4x-1)^2>0\\7(8x-9)(4x-7) \leq0\end{matrix}\right.[/m][/red]

[red]___________ ([[m]\frac{1}{4}[/m])___+__ [[m]\frac{9}{8}[/m]] ____-___ ([m]\frac{7}{4}[/m]) _____+____(2)[/red]

[red]О т в е т. [m] x \in (-\infty; \frac{1}{4})\cup (\frac{1}{4};\frac{9}{8}]\cup(\frac{7}{4}; 2)[/m][/red]


[b]2.[/b]

[green]ОДЗ[/green]
[m]\left\{\begin{matrix} 8-4x>0\\ 8-4x\neq1\\\frac{16x^2-8x+1}{(8-4x)^2}>0\end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} x<2\\ x\neq\frac{7}{4}\\\frac {(4x-1)^2}{(8-4x)^2}>0\Rightarrow x\neq \frac{1}{4}\end{matrix}\right.[/m]

[green][m] x \in (-\infty; \frac{1}{4})\cup (\frac{1}{4};\frac{7}{4})\cup(\frac{7}{4}; 2)[/m][/green]

ОДЗ первого и второго неравенств ОДИНАКОВЫЕ!

[m] 0=log_{a}a[/m]; a >0; a ≠ 1


[m] log_{8-4x}\frac{16x^2-8x+1}{(8-4x)^2} \leq log_{8-4x} 1[/m]

Используя свойство возрастания или убывания логарифмической функции в зависимости от основания

получаем две системы:

[m]\left\{\begin{matrix} \\ 8-4x>1\\\frac{16x^2-8x+1}{(8-4x)^2} \leq1 \end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix}
\\ 8-4x<1\\\frac{16x^2-8x+1}{(8-4x)^2} \geq1\end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix}\\ 8-4x-1>0\\16^2-8x+1-(8-4x)^2 \leq 0 \end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix}
\\ 8-4x-1<0\\16x^2-8x+1-(8-4x)^2 \geq 0\\\end{matrix}\right.[/m]

Получили то же самое, что и в первом случае.
Оба неравенства равносильны.

Далее так же
Ответ тот же

Лаконичная запись перехода от неравенства к системе::

[red][m]\left\{\begin{matrix} 8-4x>0\\ 8-4x\neq1\\\frac{16x^2-8x+1}{(8-4x)^2}>0\\(\frac{16x^2-8x+1}{(8-4x)^2}-1)\cdot (8-4x-1)\leq0\end{matrix}\right.[/m][/red]

Решение:
[red][m]\left\{\begin{matrix} x<2\\ x\neq\frac{7}{4}\\\frac{(4x-1)^2}{(8-4x)^2}>0\\(\frac{(16x^2-8x+1)-(8-4x)^2}{(8-4x)^2})\cdot (8-4x-1)\leq0\end{matrix}\right.[/m][/red]

....

Все решения

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК