Задача 53616 В треугольнике АВС вершины имеют...

5f6c65a2019fbf2dafd19b19

25.09.2020 11:42:51

В треугольнике АВС вершины имеют координаты А(1;1;-1), В(2;3; 1), C(3; 2; 1). Найти:

а) длины сторон;

б) внутренние углы;

в) острый угол между медианой BD и стороной АС.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

25.09.2020 19:10:51

★

б)
По теореме косинусов
BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos ∠ A
2=9+9-2*3*3*cos ∠ A

cos∠ A=8/9

Δ АВС - равнобедренный ( АВ=АС=3 ⇒ ∠B= ∠C )
По теореме косинусов
AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos ∠B
9=9+2-2*3*sqrt{2}*cos ∠B

cos ∠ B=1/(3*sqrt(2))

cos ∠ B=cos ∠ C=1/(3*sqrt(2))

в) Пусть BD=[b]x[/b]

Достраиваем Δ АВС до параллелограмма ABCM
[b]BD=DM[/b]
По свойству сторон и диагоналей параллелограмма:
d^2_(1)+d^2_(2)=2*(a^2+b^2) ⇒ [b]3^2+(2x)^2=2*(3^2+(sqrt(2))^2)[/b]

d_(1)=АС=3
d_(2)=BM=[b]2x[/b]


[b]3^2+(2x)^2=2*(3^2+(sqrt(2))^2)[/b] ⇒ 9+4x^2=2*(9+2)

4x^2=13
x^2=13/4

x=sqrt(13)/2

[red]BD=sqrt(13)/2[/red]

AD=DC=3/2

По теореме косинусов:
DC^2=BD^2+BC^2-2*BD*BC*cos ∠ DBC ⇒ 9/4=(13/4)+2-2*(sqrt(13)/2)*sqrt(2)*cos ∠ DBC

[b]cos ∠ DBC=4/sqrt(26)[/b]


a)